第十二章 结构动力计算2

第十二章结构动力计算§12-1概述§12-2运动方程的建立§12-3单自由度体系的自由振动§12-4阻尼对自由振动的影响§12-5简谐荷载作用下无阻尼单自由度体系的受迫振动§12-6多自由度体系的自振频率和振型计算第十二章结构动力计算第十二章结构动力计算一、动荷载及其分类动荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载。由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。§12-1概述第十二章结构动力计算动荷载按其随时间的变化规律进行分类：载其他非确定规律的动荷风荷载地震荷载非确定性其他确定规律的动荷载突加荷载冲击荷载非周期非简谐荷载简谐荷载周期确定性动荷载第十二章结构动力计算二、结构动力计算的目的研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。三、动力反应的特点在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，它除了与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。第十二章结构动力计算强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究强迫振动，可得到结构的动力反应。四、自由振动和强迫振动自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。结构在强迫振动时各截面的最大内力、位移都与结构的自由振动的频率密切有关。第十二章结构动力计算确定体系运动过程中任一时刻全部质点位置所需的独立几何参数数目，称为体系的自由度。根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。五、动力分析中的自由度1．自由度的定义将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。2.实际结构自由度的简化方法为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法有：（1）集中质量法第十二章结构动力计算m不计轴向变形:W=1平面:计轴向变形:W=2第十二章结构动力计算3.确定体系振动自由度的方法(b)(a)(c)(a)(b)(c)4个自由度2个自由度方法一:可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。方法二:当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法——将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。第十二章结构动力计算不计轴向变形：1yy1y2W=1W=2第十二章结构动力计算y321yyW=3W=1θ∞第十二章结构动力计算结论：①结构自由度数目与质点的个数无关②结构自由度数目与超静定次数无关考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？思考：第十二章结构动力计算描述体系振动时质点动位移的数学表达式，称为动力体系的运动方程（亦称振动方程）。单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅振动（线性振动）。根据达朗贝尔原理建立运动方程的方法称为动静法（或惯性力法）。具体作法有两种：刚度法和柔度法。§12-2运动方程的建立第十二章结构动力计算刚度法：将力写成位移的函数，按平衡条件列出外力（包括假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方程），类似于位移法。柔度法：将位移写成力的函数，按位移协调条件列出位移方程（柔度方程），类似于力法。第十二章结构动力计算质量m所产生的水平位移，可视为由动力荷载P(t)和惯性力共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原理，得一、按位移协调条件建立运动方程――柔度法11()()[''()]()ytPtmytB第十二章结构动力计算δ11——柔度系数。表示在质量的运动方向施加单位力时，在该运动方向所产生的静力位移。11()()[''()]()ytPtmytB11()''()()(121)ytmytPt式（B）可改写为：第十二章结构动力计算1、单自由度体系的振动模型二、按平衡条件建立运动方程刚度法（1）动力荷载：Pt（2）弹性恢复力：11Kyt（3）惯性力：myt2、取质量m为隔离体，其上作用有：第十二章结构动力计算3、建立运动方程根据达朗贝尔原理，由∑X＝0，得代入，即得11()()()(126)mytKytPt11()()()0PtmytKytK11——刚度系数。表示在质量的运动方向产生单位位移所需施加的力。11111K刚度系数与柔度系数互为倒数：11()()[''()]()ytPtmytB第十二章结构动力计算例1：试用刚度法建立图示刚架受动力荷载P(t)作用的运动方程。解：1)确定自由度（建模）：结构的质量m分布于刚性横梁，只能产生水平位移，属单自由度体系。2)确定位移参数：设刚梁在任一时刻的位移为y(t)，向右为正。第十二章结构动力计算3)绘隔离体受力图：取出隔离体。图中给出了惯性力、弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。4)列运动方程：按动静法列动力平衡方程，可得IS1S20PtFFF第十二章结构动力计算式中：ymFIS13112()EIFytlS23212()EIFytl代入整理，可得运动方程：()()mykytPtIS1S20PtFFF32311212lEIlEIk式中，刚度系数k又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（∆＝1）时，楼层中各柱剪力之和，如图所示）。第十二章结构动力计算例3:试用柔度法建立图示静定刚架受动力荷载作用的运动方程。CEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmy解：本题为单自由度体系的振动。取质量m水平方向的位移y为坐标。运动方程为:111PymyMt第十二章结构动力计算绘出、图如图所示。由图乘法得1MPMEIl32311111PymyMtEIl62P1得运动方程tMlylEIym41233CEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmyCEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmy1M图PM图第十二章结构动力计算tMlylEIym41233也可写作tFykymE11tFE为等效动力荷载tMltMtF4111P1ECEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmyCEIEIACBABCBCABCAF(t)IPF=1M(t)M(t)lM=1llAB1mmlmytMtF11P1E第十二章结构动力计算四、建立运动方程小结1)判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。2)沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以负号。3)根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写柔度方程还是写刚度方程。4)刚度方程几种写法的选择：①当结构给质体的反力亦即弹性恢复力FS容易求时，宜以质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构为对象列方程（方法一）。②当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附加约束的方法列方程（方法三）。第十二章结构动力计算1、刚度法：质点在惯性力与弹簧的恢复力作用下将处于一种虚拟平衡。一、运动方程：体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移y0和初始速度u0引起的振动，叫做自由振动mmy静力平衡位置ymSII0IS110()aktmy11(0)yyktm22110()ykmy§12-3单自由度体系的自由振动(不计阻尼)第十二章结构动力计算2、柔度法：11()ytI11my111myk110kmyy2111121()0mymyk当质点振动时，把惯性力看作是一个静力荷载，则质点在其作用下结构在质点处的位移y(t)应等于：my静力平衡位置yIm第十二章结构动力计算二、运动方程的解：22110()kyym初始条件定积分常数()sincosytBtCt当t=0时0(0)yy0By则运动方程为：00()cossin(1218)ytyttv0(0)cos0yBy0(0)cos0yCCv0Cv设初始时刻有初位移y0和初速度v0()cossinytBtCt0(0)yv第十二章结构动力计算220Ay0v三、自由振动解的分析1．质点的运动规律—简谐振动，质点作直线往复运动。ttytysincos)(00vTyt0-AA质点离平衡位置的位移随时间t变化的函数图00sincosvyAA()sin()ytAt振幅:初相位:0tany0v第十二章结构动力计算初相角：标志着t=0时的位置。2T频率f：每1秒间振动次数，12fT圆频率（简称频率）ω：表示2π秒内的振动次数。振幅A：振动过程中的质点的最大的位移。周期T：)sin()(tAtyTyt0-AA2sin[()]At220Ay0v00tanyv211111kmm第十二章结构动力计算2．自由振动中速度的改变规律()()cos()tytAtvAmaxv最大速度等于振幅A与频率的乘积。)()sin()()(22tytAtyta2maxaA最大加速度等于振幅A与频率平方的乘积2()sin()ZtmymAt3．自振中加速度和惯性力的变化规律：惯性力幅值等于质量、振幅与频率平方的乘积2maxZmA()sin()ytAt第十二章结构动力计算由于阻尼的作用，自振在几秒乃至百分之几秒内消失。但阻尼对自振频率的影响很小。4．自振的衰减四、求自振频率的方法：1．用于柔度系数好求的体系。2111m2．用于刚度系数好求的体系。211km用于单质点的单自由度体系第十二章结构动力计算3．能量法求自振频率。2maxmax12TmAU（）（最大动能、势能相等）（用于多质点的单自由度体系、复杂体系）4．幅值方程求自振频率。)sin()(2tmAymtZsin()yAt而两者按同一规律改变。)sin(t2max212UmA由式（12-32）：第十二章结构动力计算在达到振幅时，惯性力Z(t)达到其幅值，2mA惯性力与位移方向一致，位移A是惯性力幅值产生的。2mA故：由柔度方程：1121121mAmA由刚度方程：mkmAAk112211幅值方程求自振频率第十二章结构动力计算例12-8：图示钢制悬臂梁，梁端部有一个质量为123kg的电机。已知梁跨为1m，弹性模量：,截面惯性矩I=78cm4。不计梁的自重，求自振频率和周期。1122.0610/ENmlEIlMmP=1第十二章结构动力计算lmEI解：图示体系为单质点的单自由度体系111m1）画单位力作用下的单位弯矩图。2）图乘法计算柔度系数。113lllEI3）求自振频率16111162.61232.07410sm223.140.162.6sTlP=133lEI3611812.07410/32.06107810mN