第五章弹性力学平面问题的有限单元法

严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状态，属于空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力特点可以简化为平面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作工作量，为有限元分析提供方便。弹性力学平面问题可分为两类：如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b载荷和约束沿纵向不变，因此可以认为，沿纵向的位移分量等于零。Pxy(1)平面应变问题：xy等厚或不等厚平板，具有如下特点：a长宽尺寸远大于厚度，b载荷只沿板面，且沿厚度均匀分布，因此可以认为沿厚度方向的应力分量等于零。上述两类问题有许多共同特点，合成为弹性力学平面问题。(2)平面应力问题：0,0YyxXyxyxyyxxxvyuyvxuxyyx,,xyxyxyyxyyxxEEEE211)1(2,)(1,)(12221.平衡方程2.几何方程对于平面应力问题3.物理方程TxyyxTxyyx,D2100010112EDDE21E1若令则而称为弹性矩阵，它是一个对称矩阵，它的元素只与弹性常数与有关。换成，把换成对于平面应变问题，须把。vvuu,uSYlmXmlxyyyxx,S位移边界条件在边界上在边界上应力边界条件4.边界条件YX,SYX,xyyx,,**,vuuS*u*vxvyuyvxuxyyx*******,,UUW设变形体处于平衡受力状态：体积力为，在自由边界上的表面力为应力为设变形体产生虚位移，在固定边界上的位移及为零，相应的虚应变为则体积力和表面力在虚位移上作的外力虚功W恒等于应力在虚应变上作的虚变形功即，。AxyxyyyxxSAdydxtUdstvYuXdydxtYvXuW)(,)()(*******WSUdydxtdUxyxyyyxx)(***其中上面三个积分的意义为：中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示中的积分为它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。上的表面力作的虚功。自由边界用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分复杂。在力学模型简化过程中，必须明确以下几点①判断实际结构的问题类型，是问题还是问题；对于平面问题，是问题还是问题。②结构是否。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简化计算。③简化的力学模型必是的或的。1力学模型的简化二维三维平面应变平面应力对称静定超静定E④在力学模型简化中，还要指出结构的：材料的弹性常数，外大小和作用位置；以及结构的几何和几何。，泊松比将已经简化的结构力学模型（或称连续结构）划分成只在一些点连续的有限个单元，把每个单元看成是一个连续的、均质的、完全弹性的、各向同性的单元体，把这些连续点称作结点，每个小单元体称为一个单元；把外载荷按静力等效原理移置到有关受载的结点上，构成结点载荷，把连续结构进行这样的分割，称为结构的离散化。对于离散化的每个单元，都认为是符合弹性力学的基本假设的，因此，弹性力学的基本方程对每一个单元都同样适用。2结构的离散化力学参数载荷外形尺寸一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图：在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化，分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编号，就得到了有限元的计算模型。mji,,从现在开始，我们来分析一个典型三角形单元的力学特性。首先建立以单元结点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元的结点号码为，见图。每个结点在其单元内的位移可以有两个分量，整个单元将有六个结点位移分量。可用列阵表示为1单元的位移模式yx,yaxaavyaxaau654321621,,,aaa由于单元体也是一个二维的弹性体，单元内各点的位移分量是坐标按此位移模式，单元内各点的位移可以由单元结点位移通过插值来获得。这是我们选择的最简单的线性函数，即式中是待定常数，它可以确定于下：的函数，在进行有限元分析时，需要假定一个位移模式：(b)TmmjjiiTmTjTievuvuvu),,mjivuTiii（iivu,ixy其中子矩阵式中是结点在轴和(5-1)(a)轴方向的位移。mji,,),(iiyx),(jjyx),(mmyxmmmmmmjjjjjjiiiiiiyaxaavyaxaauyaxaavyaxaauyaxaavyaxaau654321654321654321ummjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxayuyuyuayxuyxuyxua11121,11121,21321设结点的坐标分别为、、将它们代入(b)式得联立解(c)式关于的三个方程，可以求得(c)(d)，mmjjiiyxyxyx1112其中(5-2)mji,,mji,,从解析几何知，(2-2)式中的等于三角形为使求得面积的值不致成负值，结点转向，如图所示。的面积，的次序必须是逆时针mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbau)()()(21)(11,11,mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa),,(mjimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbav)()()(21将(d)式代入(b)式中的第一式，并稍加整理得其中(5-3)同理得到(e)(f)),,(,)(21mjiycxbaNiiiimmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNueemjiNINININvufImjiNNN,,N如令位移模式(e)、(f)就可以写成上两式可合并写成矩阵形式如下式中是二阶单位阵；形函数矩阵(5-4)(5-5)(5-6)位移状态，因而称为，矩阵则称为。是坐标的函数，它们反映单元形函数xvyuyvxuxyyx有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程(g)2单元的应变emmjjiimjimjibcbcbccccbbb00000021eB求得应变分量，将(e)、(d)两式代入上式即得或简写成(5-7)(g)BmjiBBBB),,(,0021mjibccbBiiiiiBmjimjicccbbb,,,,,B,,yx其中可写成分块形式而子矩阵公式(2-7)是用结点位移表示单元应变的矩阵方程，矩阵是单元。由于和所以中的元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，故通常称这种单元为。(5-9)就等都是常量，xy常应变单元应变矩阵(5-8)DeBDBDSeSS在得到应变之后，再利用物理方程便可导出以结点位移表示应力的关系式。把(2-7)式代入上式，得到令则(2-10)式写成这就是应力与结点位移的关系式，其中称为。(5-10)(h)(5-11)3单元的应力应力矩阵SiiiiiiiibccbcbEBDS2121)1(22对于平面应力问题，的子矩阵可写成(5-13)矩阵S可写成分块形式mjimjiSSSBBBDS(5-12)),,(mjiiiiiiiibccbcbES)1(221)1(22111)21)(1(2)1(对于平面应变问题(5-14)),,(mjimmjjiiSSSS如果注意到(5-1)式，则(5-11)式可写成从(5-13)、(5-14)式可以看出，常量。因而，相邻单元将具有不同的应力和应变。这样，越过公共边界，从一个单元到另一个与它相邻的单元，应力和应变的值都将有突变，但是位移是连续的（参阅下节），常应变单元的这些性质实际上都是由于选取线性的位移模式所造成的。(5-15)个单元中的应力分量也是中的元素都是常量，所以每),,(,)(21mjiycxbaNiiiimmjjiiyxyxyx1112mjimjixxcyyb11,11我们在上节讨论常应变三角形单元时，曾提出形函数其中mmjjiyxyxa,坐标轮换ijmjjjiiicbacba,,,,,mmmcba,,2iNi1)(21),(iiiiiiiiycxbayxNmj,0)(21),(0)(21),(mimiimmijijiijjiycxbayxNycxbayxN由(5-3)式可知，常数和依次式行列式的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式，根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其它行（或列）的元素的代数余子式乘积之和则等于零，从而可以推出形函数的许多性质如下：1形函数在结点上的值而在其余两结点上的值,0),(iijyxN0),(,1),(mmjjjjyxNyxN,0),(iimyxN1),(,0),(mmmjjmyxNyxN类似地有ycccxbbbaaaycxbaycxbaycxbayxNyxNyxNmjimjimjimmmjjjiiimji)()()(21)(21),(),(),(1),(),(),(yxNyxNyxNmji2在单元任一点上三个形函数之和等于1证明：根据前述行列式的性质，第一圆括号等于2，而第二、第三圆由此可见，三个形函数中只有二个是独立的。括号都等于零。故有ijmij0),(,),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijiiijijiimmyxxcby)(3在三角形单元的一边上，例如边上有也就是说，在边上的形函数与第三个顶点的坐标无关。事实上，边的方程到(2-4)式，即可得到上面结果（学生自己证明）代ijmijnijij0),(),(yxNyxNnm利用这一性质，很容易证明相邻单元的位移，分别进行线性插值之后，在公共边是连续的，例如图中单元和具有公共边，由(f)式在边上jiNN,vu,ji,式中如(f)式所示，可见在公共边上的位移公共边的两个结点的位移所确定，所示相邻单元的位移是连续完全由连续的。jjiijjiivNvNvuNuNu,不论按照哪个单元来计算，根据(5-5)式公共边上的位移均由下式表示yyNyNyNxxNxNxNNNNmmjjiimmjjiimji11．试证：在三结点三角形单元内的任意一点都有2．试证：在三结点三角形单元mji的一边上，例如ji边上有0),(),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijii3．求所示三角形的二次插值位移模式。该单元有三个主结点，两个副结点。eeTmmjjiiTTmTjTieVUVUVURRRRemj,Tmmjjiievuvuvu********feNf**现在来推导单元结点力和结点位移之间的