离散数学第七章第三节

1第7-3讲图的矩阵表示1.邻接矩阵2.可达性矩阵和连通矩阵3.关联矩阵4.课堂练习5.第7-3讲作业21、邻接矩阵（1）定义1设G=V,E简单图,它有n个结点v1,v2,…vnV，则n阶方阵A(G)=(aij)称为G的邻接矩阵，这里例如，左下图的邻接矩阵列于右侧：jivvvvajijiij或不邻接邻接010001101111000010)(GA31、邻接矩阵（2）图的邻接矩阵显然与n个结点的标定次序有关，因而同一个图可得出不同的邻接矩阵。不过这些矩阵可以通过交换行和列而相互得出。具有这样性质的矩阵称它们置换等价。例如，左下图的两个置换等价邻接矩阵：0001101111000010)(GA010000011101101041324132vvvvvvvv置换等价是n阶布尔矩阵集合上的一个等价关系。我们忽略邻接矩阵的多样性，可取图G的任一邻接矩阵视为该图的邻接矩阵41、邻接矩阵（3）简单有向图G的邻接矩阵A(G)=(aij)nn的第i行元素之和等于vi的出度。第j列元素之和等于vj的入度。例如，左下有向图中，v3的出度=1+1+0+1=3，v3的入度=0+1+0+0=10001101111000010)(GA010000011101101041324132vvvvvvvv51、邻接矩阵（4）定理1设简单有向图G=V,E的邻接矩阵为A，则矩阵Ak中的第i行第j列元素等于G中连结vi与vj长度为k的路的数目。例如，左下有向图，A2中的第2行第1列元素等于2，说明连结v2与v1长度为2的路的有两条：v2v4v1，v2v3v1。0001101111000010)(GA00101111101211002A分析:a21(2)=a21a11+a22a21+a23a31+a24a41=0•0+0•0+1•1+1•1=2注意从v2到v1长度为2的路中间必经由一个结点vk,即v2vkv1(1k4)。K=3时，a23a31=1•1表示v2到v3、v3到v1有路(边)。61、邻接矩阵（5）定理1设简单有向图G=V,E的邻接矩阵为A，则矩阵Ak中的第i行第j列元素等于G中连结vi与vj长度为k的路的数目。证明思路分析：对此定理不作全面证明。从A2为例作一些说明。计算连结vi与vj长度为2的路的数目，注意从vi到vj长度为2的路中间必经由一个结点vk,即vivkvj(1kn)，而且aik=akj=1，那么aik·akj=1。反之，如果不存在路径vivkvj，则aik=0或akj=0，从而aik·akj=0。所以从vi到vj长度为2的路径的数目等于nkkjiknjinjijijkijnijijiaaaaaaaavvvvvvvvvvvv1221121...按矩阵的乘法法则，此和式恰好是A2中第i行第j列元素aij(2)。71、邻接矩阵（6）定理1设简单有向图G=V,E的邻接矩阵为A，则矩阵Ak中的第i行第j列元素等于G中连结vi与vj长度为k的路的数目。证明思路分析(续)：计算连结vi与vj长度为3的路径的数目，注意从vi到vj长度为3的路径可视为从vi到中间结点vk长度为1的路径，再加上从vk到vj长度为2的路径，所以从vi到vj长度为3的路径的数目等于23)3(1)2()3()(AAAaaaannijnkkjikij那么0001101111000010A00101111101211002A11002122112110123A82、可达性矩阵和连通矩阵(1)定义2设G=V,E为简单有向图，V={v1,v2,…vn}，定义矩阵P=（pij）,其中有向图G中从vi到vj是否有路可达可通过矩阵运算而得到。由图G的邻接矩阵A可得可达性矩阵P，令Bn=A+A2+…+An=(bij)nnBn中的元素bij表示从vi到vj是长度等于或小于n的路径数。若bij0，则表示从vi到vj可达。这样，将Bn中不为零的元素全部换成1，而等于零的元素保持不变，即得可达矩阵。不存在路到从至少存在一条路到从jiji01vvvvpijP称为图G的可达性矩阵。92、可达性矩阵和连通矩阵(2)求可达性矩阵可简化为：(1)由图G的邻接矩阵A求可达性矩阵P:P=A(1)A(2)…A(n)其中的元素A(i)表示Ai对应的布尔矩阵。(2)用Warshall算法计算：因为有向简单图的邻接矩阵A可视为具有n个结点的集合V上的邻接关系R的关系矩阵，而可达矩阵可视为邻接关系R的传递闭包所对应的矩阵。设A=(aij)nn、B=(bij)nn是布尔矩阵，令C=AB=(cij)nn，称为布尔矩阵求“和”；令D=AB=(dij)nn，称为布尔矩阵求“积”。其中：kjiknkijijijijbadbac1102、可达性矩阵和连通矩阵(3)方法1：先由邻接矩阵A求B4,B4=A+A2+A3+A4然后写出可达矩阵P。计算可达矩阵举例:0000101111001010A00002110101111002A00002111211010113A00003121211121104A000011111111111100008353633252314PB00001111111111110000111111111110000011111110101100001110101111000000101111001010p方法2：将A、A2、A3、A4转换为布尔矩阵A(1)、A(2)、A(3)、A(4)，则P=A(1)A(2)A(3)A(4)。112、可达性矩阵和连通矩阵(4)(3)用Warshall算法计算:计算可达矩阵举例（续）:0000101111001010A00002110101111002A00002111211010113A00003121211121104A43210000111111111111:0000111111111111:0000111111001110:0000101111001010:0000101111001010:iiiiAPM123、关联矩阵(1)定义3设G=V,E为无向图，V={v1,v2,…vp}，E={e1,e2,…eq}，定义矩阵M(G)=(mij)pq,其中例如，写出下图的关联矩阵。jiji01evevmij不关联关联M(G)称为图G的完全关联矩阵。000000011000101100000111110011)(54321654321vvvvveeeeeeGM133、关联矩阵(2)从完全关联矩阵可得出图的有关信息：(1)因每边只关联两个结点，故每列有且只有两个1，其余为0。(2)每行各元素之和即相应结点的度数。(3)若某行各元素皆为0，则相应结点为孤立结点。(4)平行边所对应的列完全相同。(5)同一个图取不同的点、边序列，其对应的关联矩阵仅存在行序和列序的差异。000000011000101100000111110011)(54321654321vvvvveeeeeeGM143、关联矩阵(3)定义4设G=V,E为简单有向图，V={v1,v2,…vp}，E={e1,e2,…eq}，定义矩阵M(G)=(mij)pq,其中例如，写出如下简单有向图的关联矩阵。不关联与的终点是的起点是jijiji011evevevmijM(G)称为有向图G的完全关联矩阵。00110000101100100011000000111110001)(543217654321vvvvveeeeeeeGM153、关联矩阵(4)从有向图的完全关联矩阵可得出图的有关信息：(1)每边关联一个始点，一个终点。故每列只有一个元素为1，一个元素为-1，其余为0。(2)每行的1之和即相应结点的出度，-1之和即相应结点的入度。(3)若某行各元素皆为0，则相应结点为孤立结点。(4)平行边所对应的列完全相同。00110000101100100011000000111110001)(543217654321vvvvveeeeeeeGM163、关联矩阵(5)定理2设连通图G有r个结点，则其完全关联矩阵的秩为r-1。(证明从略)两个关于关联矩阵的秩的结论：推论设图G有r个结点，w个最大连通子图，则图G的完全关联矩阵的秩为r-w。注：(1)矩阵中的任意k阶方阵的行列式该矩阵的k阶子式。(2)矩阵A中不为0的子式的最大阶数r叫A的秩。(3)交换矩阵中两行或两列；用非零数乘矩阵的某行或某列；用非零数乘矩阵的某行或某列后再加到另一行或列的对应元素上。以上三种变换叫矩阵的初等变换。初等变换不改变矩阵的秩。174、课堂练习练习求如下有向图的邻接矩阵A，指出从v1到v4且长度为2和4的路。并计算A2、A4来验证。解：从v1到v4长度为2的路有1条：v1v2v4从v1到v4长度为4的路有3条：v1v2v4v2v4，v1v2v3v2v4，v1v4v2v3v42210323031403230102021202210212011001110102011100010101011001010432AAAA18第7-3讲作业P3001，2