水文随机分析第四章090918

2020/1/20水文水资源学院1第四章水文随机序列的预报概述平稳线性最少方差预报AR（p）序列预报门限自回归模型2020/1/20水文水资源学院2第一节概述模机水文模型应用：)(,*:外推步预测中长期预测短期预报防洪效益计算等资料可用于风险分析和模拟，l，nkn最简单一个例子：对中心化（离均差后）系列建立了一阶自回归模型：ty1tt1t514y.0y)23,0(~21tN（1）417yxtttx—水文序列已知1984年19851198419854001ttxxtt年预值2020/1/20水文水资源学院3对（1）式取数学期望得：smyxyyttt/408417ˆˆ7.8)417400(*514.0ˆ514.0ˆ311t1（预报公式）其实，这是一个期望预报，把随机变量取为0值（平均值）因此一步预报误差：)23,0(~)1(ˆ)1(211NZxxetttt评价误差作为区间预报,96.1)1(ˆ05.0514.0),/()1(ˆxt11txttttxuyuyyyEx已知水文序列作预报。①建立水文随机模型（假如无趋势及周期）②给出预报公式和预报方法。③利用现在及过去观测值作预测，必要时作实时修正。④区间预报，误差分析，对模型作评定及检验。2020/1/20水文水资源学院4第二节平稳线性最小方差预报对正态平稳系列作l步预报问题：当前时刻k和过去时刻为已知，需对未来时刻随机变量，可记为。,,,,2,121kkkyyykk序列值为)(,2,1,正整数作出预报clylk)(ˆlyk所谓平稳线性最小方差预报定义为：min)(ˆ2lyyEklk已知且为条件由于期望值必须是,,,)(ˆ1kklkkyyyly),,/()(ˆ1kklkkyyyEly∴∴水文变量)()(ˆ)(ˆ常数xkklylx2020/1/20水文水资源学院5一、ARMA（p、q）序列差分形式公式：离均化ARMA（p、q）模型qlkqlRlkplkplklklkqtqtttptptttyyyylktyyyy11221122112211把两端取数学期望（条件）),/(),/()/(),/()(ˆ22111kplkpklkklkkklkkyyEyyEyyEyyyEly)()()(11qlkqlklkEEE0)(ˆ)2(ˆ)1(ˆ21plylylykpkk当MA(0,q)模型时，如ˆ()0klqyl当为AR（p）模型时，将在后面作介绍。2020/1/20水文水资源学院6二、ARMA（p、q）序列传递形式预报公式：110(2)cotjtjpqjyZG残差为白噪声1112112231221331122111OjjjjjjGGGGGGGGGGG把上式(2)式中t用代替kl0kljkljjyG0112211(())()klklkllkkGGGGel11()lklkkGGyl2020/1/20水文水资源学院71,,,0kkl未知是随机变量故其数学期望为上式两边取条件数学期望11220ˆ(/)()ˆ()klkklklklkkjlkjjEyyylGGGylZG该公式11ˆ(),()()kkklokllkelylyGGl项2020/1/20水文水资源学院8三、ARMR（p、q）递推预报公式（可用于实时修正）对（2）式作一些变换，把k改为k+1110111ˆ()(0)kjlkjjokjlkjjylZGjGG把这一项提取出来110ˆ((1))(1)lkRlikiiGyyGij(2)111ˆ((1)(2)1)ˆˆ((1))(1)kokklkkkyGylGyyyl式中2020/1/20水文水资源学院9事实上以上公式含义：要做k+1时刻l步预报=在k时刻作l+1步预报值+（k+1时刻实测值与在k时刻对k+1时刻预测值之差）*权重系数。lG相当于对时刻作预测时，用误差来校正预测值，把这个称为实时校正（现时校正）。1ky1kly1,kly由1ky预测如2ky21111ˆˆˆˆ(1)()((1))(2)kkkkkyyyyy显然在时刻预测比用预测效果要好，用了误差校正。1k2kyky2ˆky2020/1/20水文水资源学院10预报误差（评定与检验）1221222221ˆ()01ˆ()110.900.70.90.69,0.5NiiiNiiiBxxBNMSExxNMSERSxRSR平均偏移,要求为好是方差为好为甲等方案乙等丙等方案[合格率（允许相对误差范围内如20%）合格率85%，甲等；70%-84%，乙等；60%-69%，丙等]（枯季径流允许误差30%，每日径流20%）2020/1/20水文水资源学院112222121[()](1)klVareeGGG222/2121ˆ()1klylUGGG如区间估计。/2ˆ1(1)klyU2020/1/20水文水资源学院12第三节AR（p）序列预报12()(1)(2)()kkkpkylylylylp()(0)kklylyl（一般ARMA(p,q)模型有此结果）1211(1)kkkpkpyyyy一步预报公式12312(2)(1)kkkkpkpyyyyy(2)l()lp121()(1)(2)(1)kkkpkpkypypypyy()lp12()(1)(2)()kkkpkylylylylp()lp先估计模型参数p,,,212020/1/20水文水资源学院13再作一步预报，又由预报如此递推可以作l步预测，当然还可以作实时校正预报。)1(ˆky1),1(ˆkkyy)2(ˆkx实例：某站中心化模型已建立（正态分布假定）(2)AR212120.490.10(0,41.1)46746.70.440.11ttttttttxyyyNXyrr384291982594081981ttttyxyx求预测1983-1985平均流量。2020/1/20水文水资源学院14①以1982年为k时刻进行预报121ˆ1983,(1)0.49*(38)0.10(58)12.8ˆ(1)467(12.8)454(1983429)kkkkyyyx年由年实测值偏大12198412ˆˆ1984(2)(1)0.49*(12.8)(0.10)(38)2.5ˆ(2)464416)ˆˆˆ1985(3)(2)(1)()0.1ˆ(3)466.9467(410)kkkkkkkkyyyxxyyylpx年(实测值年实测值22221210112122221122[()](1)10.490.14(1)41.1arklxVelGGGGGGGrr区间预报2020/1/20水文水资源学院15212212ˆ1983(1)1.96*41.1(535,373)4295.8%ˆ1984(2)1.96*41.11(554,374)41611.8%ˆ1985(3)1.9641.11(557377)41013.9%kkkxxGxGG实测值实测值，实测值实时校正：以1983年为k+1进行实时校正预报113111984ˆˆˆ()(1)((1))ˆ(1)(38(12.8))ˆ(1)25.2(1983429/,1982)ˆ1984(1),(1)(2.5)25.214.84528.6%kklkklkklkylylGyyylGylGmslyGx实测值也是与年相同年相对误差121985ˆˆ1985(2)(3)25.2(0.1)25.20.143.6463(410)12.9%1984,1985kkyyGx实测性相对误差显然年利用实时校正后和相对误差较连续预报要少。2020/1/20水文水资源学院16门限自回归模型1978年提出H.Tong）（ThresholdAutoregressiveModel）观察：①②10.50.9(1)tttxxAR对这样生成系列，平稳过程，模型生成。其他ttttttNxxx0.3)1,0(5.35.39.05.011这样生成不是线性模型生成随机过程，若生成数据100年，用线性模型拟合效果较差即残差相关比较大，不一定独立，正态。tx2020/1/20水文水资源学院17模型形成（一般）111222(1)(1)(1)(1)112201(2)(2)(2)(2)112212()()()()011221,lllottktkttdottktkttdtllllttktktltdlxxxrxrxxxrxrxxxxrxr一般l取2～3，不宜取太多了，否则太复杂。这个模型实际说明了随机序列是分段线性的，即每个区间内可用自回归模型来描述，但这些模型序数在不同区间是不一样的。tx2020/1/20水文水资源学院18建模：已知)(,,21年数据NxxxN当用传统线性模型建模时发现，独立性差，或预测精度较差，则可以考虑用门限自回归模型来建模，（当然还应考虑是否在成因上做分段线性门限值？）据以上模型),,,,(21eRkkedSETAR采用以上已知数据，来辩认模型参数步骤如下：nx1：令。分成段，如确定各段自回归阶数，L为逐段自回归允许最大阶数，这里都认为各段有相同L值。max(,)odlndL与固定,假定已知。记eRRR212020/1/20水文水资源学院19把实数轴分成l个区间0minrx3r2r1rmaxxrl1lr一般是预报值取为max30%,40%,50%,60%,70%mimxx的上的点10minmaxmin234()0.3()0.40.50.6ooorrxxxrrrrrr如这样可以把取值区间分l成个。tx对于已知观察分析动态数据中在不同区间个数（以排在开始统计），如L=3，d=1，从开始统计在不同区间个数。nxxx,,2,101ndx3x2020/1/20水文水资源学院20记第一个区间N1个第二个区间N2个1ljojNNn第l个区间Nl个设动态数据中有：1112112122221201121,,,[,],,,,[,],,,[,]lllNlnodinodinodiNnodinodinodiNnodinodinodillxxxrrxxxrrxxxrr落在落在落在对于第一段线性自回归模型具体形式已知：2020/1/20水文水资源学院2111111(1)111111111110(1)12121212111211011112(1)122(1)(1)112nonononononononononoknoiNnoNnoNnNnoxixixixikixixixixikixixixixik