建筑力学 第九章 超静定结构的内力

第九章超静定结构的内力内容提要超静定结构是工程中广泛采用的结构型式。本章介绍超静定结构的概念和超静定次数的确定方法；重点介绍计算超静定结构内力的常用方法，即力法、位移法和力矩分配法的基本概念、解题思路和计算方法；最后分析总结超静定结构的特性。9.1概述9.2力法9.3位移法9.4力矩分配法本章内容9.5无剪力分配法9.6超静定结构计算方法分析9.7超静定结构的特性小结本章内容9.1概述9.1.1超静定结构的概念超静定结构是工程中广泛采用的一类结构，为了全面认识超静定结构，我们把它与静定结构作一比较。图（a）所示的刚架是一个静定结构，它的支座反力和各截面的内力都可以由静力平衡条件唯一确定。图（b）所示的刚架是一个超静定结构，有四个反力，却只能列出三个独立的平衡方程，它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定。（a）（b）FFByFAxFAyFFByMAFAxFAy再从几何组成方面来分析，图（a）所示刚架和图（b）所示刚架都是几何不变的。若从图（a）所示的刚架中去掉支杆B，其就变成了几何可变体系。而从图（b）所示刚架中去掉支杆B，则其仍是几何不变的，从几何组成上看支杆B是多余约束，所以，该体系有一个多余约束，是一次超静定结构。（a）（b）FFByFAxFAyFFByMAFAxFAy综上所述，存在多余约束，单靠静力平衡方程不能确定所有支座反力和内力，这就是超静定结构与静定结构的根本区别。9.1.2超静定次数的确定超静定次数就是结构的多余约束的个数，也就是多余未知力的个数。所以，确定结构的超静定次数的方法，就是把原结构中的多余约束去掉，使之变成静定结构，所去掉的多余约束的个数即为结构的超静定次数。通常情况下，从超静定结构中去掉多余约束的方式有如下几种：1.切断体系内部的一根链杆或去掉支座处的一根支杆，相当于去掉一个约束，如图所示。X1(a)(b)X1X22.去掉一个铰支座或一个单铰，相当于去掉两个约束，如图所示。(a)(b)X1X2X1X2X1X23.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束，如图所示。(a)(b)cX1X2MAX1X2X1X2X3X34.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为铰支座，相当于去掉一个约束，如图所示。X1(a)(b)(c)X1用上述去掉多余约束的方式，可以确定任何超静定结构的超静定次数。然而，对于同一个超静定结构，可用各种不同的方式去掉多余约束而得到不同的静定结构。但不论采用哪种方式，所去掉的多余约束的数目必然是相等的。但要注意所去掉的约束必须是多余约束。即去掉多余约束后，体系必须是无多余约束的几何不变体系，原结构中维持平衡的必要约束是绝对不能去掉的。如图(a)所示的刚架，如果去掉一个支座处的竖向支杆，即变成了如图(b)所示瞬变体系，这是不允许的。所以，此刚架支座处的竖向支杆不能作为多余约束。9.1.3超静定结构的计算方法由于超静定结构具有多余约束，存在对应的多余未知力，这就使未知力的个数多于可列出的静力平衡方程数。因此，计算超静定结构的全部反力和内力，不仅要考虑静力平衡条件，同时必须要考虑位移条件。由于超静定结构的类型有多种，不同类型的超静定结构适宜采用的计算方法也不同，常用的计算超静定结构的方法有以下。1.力法力法是以多余未知力作为基本未知量，以静定结构计算为基础，由位移条件建立力法方程求解出多余未知力，从而把超静定结构计算问题转化为静定结构计算问题。2.位移法位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程求解位移，利用位移和内力之间的关系计算结构的内力，从而把超静定结构的计算问题转化为单跨超静定梁的计算问题。3.力矩分配法力矩分配法是在位移法基础上发展起来的一种渐近解法，它不需计算结点位移，而是直接分析结构的受力情况，通过代数运算直接得到杆端弯矩值。9.2力法力法计算超静定结构，是以静定结构为计算对象，把多余未知力作为基本未知量，根据变形协调条件建立力法方程，从而把计算超静定结构多余未知力的问题转化为计算静定结构的问题。9.2.1力法的基本原理下面通过对一次超静定结构的分析，阐述力法的基本原理。如图所示一端固定、另一端铰支的梁，该梁有一个多余约束，是一次超静定结构。如果把支杆B作为多余约束去掉，并代之以多余未知力X1，则原结构就转化为图（b）所示的静定梁。它承受着与图（a）所示原结构相同的荷载和多余未知力。我们把这种去掉多余约束用多余未知力来代替后的静定结构称为按力法计算的基本结构。(b)基本结构X1只要能够求出多余未知力X1，原结构的计算问题就转变为静定的基本结构在荷载q及多余未知力X1共同作用下的静定结构计算问题了。我们把多余未知力称为力法计算的基本未知量。(b)基本结构X1在图(b)所示的基本结构上，多余未知力X1是代替原结构支座B的作用。因此，基本结构的受力和变形应与原结构完全相同。设基本结构在B点沿X1方向上的位移为Δ1。由于在原结构图(a)中，支座B处的竖向位移等于零。所以，在基本结构图(b)中，B点由荷载q与多余未知力X1共同作用下在X1方向上的位移Δ1也应该为零，即Δ1=0上式称为基本结构应满足的原结构的位移条件，设Δ1F[图(c)]和Δ11[图(d)]分别表示荷载q与多余末知力X1单独作用于基本结构上时，引起的B点沿X1方向上的位移。由叠加原理，有Δ1=Δ11+Δ1F=0=+(c)(d)(b)基本结构X1X1由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1单独作用于基本结构时引起的B点沿X1方向上的位移，即Δ11=δ11·X1，则δ11·X1+Δ1F=0上式称为力法方程，而δ11称为方程的系数，Δ1F称为方程的自由项。因为δ11和Δ1F均为已知力作于静定结构时，引起的B点沿X1方向上的位移，所以由静定结构的位移计算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知力X1。为了具体计算位移δ11和Δ1F，可分别绘出基本结构在荷载q和X1＝1单独作用下的MF图和图[图(a，b)]，然后用图乘法计算。1M(a)MF图图1)b(MX1(a)MF图图)b(1M由于MF图和图分别是基本结构在X1＝1和荷载q作用下的弯矩图，同时图又可理解成为求B点的竖向位移而绘制的单位荷载作用下的弯矩图。所以，可用图乘图，即图自乘，则有1M1M1M1M1MEIllllEI332211311X1同理可用图乘MF图计算Δ1FEIqllqllEIΔ84321311421F将δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力X1。所得末知力X1为正号，表示反力X1的方向与所设的方向相同。1MqlΧ8311F11(a)MF图图)b(1MX1多余未知力X1求出后，将已求得的多余力X1与荷载q共同作用在基本结构上,就可以按求解静定结构的方法，求出原结构的其余反力和内力，最后绘出原结构的弯矩图，如图（c）所示。82ql82qlABM图超静定结构的最后弯矩图M，也可利用已经绘出的图和MF图按叠加原理绘出，即。F11MXMM1M（c）综上所述，力法是以多余未知力作为基本未知量，以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构，根据基本结构在多余约束处与原结构完全相同的位移条件建立力法方程，求解多余未知力，从而把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。9.2.2力法典型方程前面用一次超静定结构说明了力法计算的基本原理，下面以一个三次超静定结构为例进一步说明力法计算超静定结构的基本原理和力法的典型方程。图(a)所示为一个三次超静定刚架，荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。（a）这里我们去掉固定支座C处的多余约束，用多余未知力X1、X2、X3代替，得到如图(b)所示的基本结构。X2X1X3（a）（b）由于原结构C处为固定支座，其线位移和角位移都为零。所以，基本结构在荷载q及X1、X2、X3共同作用下，C点沿X1、X2、X3方向的位移都等于零，即基本结构应满足的位移条件为Δ1=0Δ2=0Δ3=0X2X1X3（a）（b）上式就是三次超静定结构的力法方程。000F3333232131F2323222121F1313212111ΔΧΧΔΧΧΔΧΧ根据叠加原理，上面的位移条件可以表示为=+++X2X1X3（b）X2（d）（e）X3（f）图FM1F3F2F（c）X1式中：δ11、δ21、δ31——当X1＝1时引起的基本结构上沿X1、X2、X3方向上的位移[图(c)]；δ12、δ22、δ32——当X2＝1时引起的基本结构上沿X1、X2、X3方向上的位移[图(d)]；δ13、δ23、δ33——当X3＝1时引起的基本结构上沿X1、X2、X3方向上的位移[图(e)]；Δ1F、Δ2F、Δ3F——荷载引起的基本结构上沿X1、X2、X3方向上的位移[图(f)]。对于n次超静定结构，用力法分析时，去掉n个多余约束，代之以n个多余未知力，当原结构在去掉多余约束处的已知位移为零时，采用上面同样的方法可以得到n个方程，称为力法典型方程。具体形式如下：000Fi22112F2i2222121F11i1212111nnnnninnnninniΔΧXΧΧΔΧXΧΧΔΧXΧΧ在力法典型方程的前面n项中，位于从左上方至右下方的一条主对角线上的系数δii称为主系数，它表示Xi=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用图自乘求得,其值恒为正值；主对角线两侧的系数δij(i≠j)称为副系数，它表示Xj=1时，引起的基本结构上沿Xi方向上的位移，它可利用图与图互乘求得。1MiMjM根据位移互等定理可知副系数δij与δji相等；方程组中最后一项△iF不含未知力，称为自由项。它是由荷载单独作用在基本结构上时，引起的沿多余力Xi方向上的位移，它可通过MF图与图互乘求得。副系数和自由项可能为正值，可能为负值，也可能为零。iM由于基本结构是静定的，所以力法典型方程中各系数和自由项都可按上一章位移计算的方法求出。解力法方程求出多余未知力Xi(i=1，2，…，n)后，就可以按静定结构的分析方法求其余反力和内力。原结构的弯矩可由下面的叠加公式求出：F2211MXMXMXMMnn原结构的剪力和轴力可以根据平衡条件确定。9.2.3力法的计算步骤和举例根据以上所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：（1）选取基本结构。去掉原结构的多余约束，以相应的未知力代替多余约束的作用。（2）建立力法典型方程。根据基本结构在去掉多余约束处的位移与原结构相应位置的位移相同的条件，建立力法方程。（3）计算力法方程的系数和自由项。利用静定结构的位移计算公式，或分别绘出基本结构在单位多余力Xi和荷载作用下的弯矩图，然后用图乘法计算系数和自由项。（4）解方程求多余未知力。将所得各系数和自由项代入力法方程，解出多余未知力Xi。（5）绘制原结构的内力图。用叠加法绘制原结构的弯矩图，进而根据平衡条件确定剪力图和轴力图。1．超静定梁和超静定刚架用力法计算超静定梁和刚架时，通常忽略剪力和轴力对位移的影响，因此，在计算力法方程的系数和自由项时只考虑弯矩的影响。【例9.1】两端固定的超静定梁如图所示，全跨承受均布荷载q的作用，试绘制梁的弯矩图。【解】1)选取基本结构。这是一个三次超静定梁，现去掉A、B端的转动约束及B端的水平约束，代之以多余未知力X1、X2、X3，得到基本结构如图(b)所示。qABl(b)基本结构X3X1X22)建立力法方程。在竖向荷载作用下，当不计梁的轴向变形时，可认为轴向约束力为零，即X3=0。由基本结构在多余未知力X1、X2及荷载的共同作用下，应满足在A端和B端的角位移等于零的位移条件。因此力法方程为00F2222121F1212111ΔΧΧΔΧΧ3)计算方程的系数和自由项。分别绘出基本结构在单位多余力X1=1作用下的弯矩图，即图[图(c)]、图[图(d)]，及荷载作用下的弯矩图[图(e)]。1M2MF