第三章 三角函数、解三角形第六节 解三角形 2

第三章三角函数、解三角形第六节解三角形第2课时解三角形的综合应用(提升课)微考点·大课堂微考点·大课堂考点一三角形的实际应用【典例1】如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到：CD＝2，CE＝23，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________。cos48.19°取23解析依题意知，在△ACD中，∠CAD＝30°，由正弦定理得AC＝CDsin45°sin30°＝22，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝CEsin60°sin45°＝32。因为在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10，所以AB＝10。答案10利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤1．分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图。2．建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型。3．求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解。4．检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【变式训练】如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为________米。解析在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°。因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°。所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°。由正弦定理，可得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以400sin30°＝ADsin120°，得AD＝4003(米)。在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos150°＝4002×13，解得AC＝40013(米)。故索道AC的长为40013米。答案40013考点二正、余弦定理在平面几何中的应用【典例2】(2018·成都诊断)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝π2，B＝2π3，AB＝6。在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED。若∠CED＝2π3，EC＝7。(1)求sin∠BCE的值。解(1)在△BEC中，由正弦定理，知BEsin∠BCE＝CEsinB。因为B＝2π3，BE＝1，CE＝7，所以sin∠BCE＝BE·sinBCE＝327＝2114。(2)求CD的长。(2)因为∠CED＝B＝2π3，所以∠DEA＝∠BCE，所以cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝1－328＝5714。因为A＝π2，所以△AED为直角三角形，又AE＝5，所以ED＝AEcos∠DEA＝55714＝27。在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×－12＝49。所以CD＝7。利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路1．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解。2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。【变式训练】(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2。点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________。解析在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC＝BA2＋BC2－AC22BA·BC＝42＋22－422×4×2＝14。因为∠ABC＋∠DBC＝π，所以cos∠DBC＝cos(π－∠ABC)＝－cos∠ABC＝－14。因为0∠DBCπ，所以sin∠DBC＝1－cos2∠DBC＝1－－142＝154。所以△BDC的面积S＝12BC·BD·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152。在△BDC中，因为BD＝BC，所以∠BDC＝∠BCD，所以∠BDC＝π－∠DBC2，则cos∠BDC＝cosπ－∠DBC2＝sin12∠DBC。又因为cos∠DBC＝1－2sin12∠DBC2＝－14，而0∠DBCπ，所以sin12∠DBC0，所以sin12∠DBC＝104，因此cos∠BDC＝104。答案152104解析：求△BDC的面积同上述解法。先在△BDC中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠DBC＝22＋22－2×2×2×－14＝10，所以CD＝10。取CD的中点E，连接BE。因为BD＝BC，所以BE⊥CD。在Rt△BDE中，因为BD＝2，DE＝12CD＝102，所以cos∠BDC＝DEBD＝104。考点三三角形中的最值与范围问题【典例3】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角。(1)证明：B－A＝π2。解(1)证明：由a＝btanA及正弦定理，得sinAcosA＝ab＝sinAsinB，所以sinB＝cosA，即sinB＝sinπ2＋A。因为B为钝角，所以A为锐角，所以π2＋A∈π2，π，则B＝π2＋A，即B－A＝π2。(2)求sinA＋sinC的取值范围。(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－2A＋π2＝π2－2A0，所以A∈0，π4。于是sinA＋sinC＝sinA＋sinπ2－2A＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2sinA－142＋98。因为0Aπ4，所以0sinA22，因此22－2sinA－142＋98≤98。由此可知sinA＋sinC的取值范围是22，98。解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大。【变式训练】(2018·荆州一检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin32B＋π4＝22，且a＋c＝2，则△ABC周长的取值范围是()A．(2,3]B．[3,4)C．(4,5]D．[5,6)解析因为sin32B＋π4＝22，且角B为三角形的内角，所以32B＝π2，所以B＝π3。又b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac＝4－3ac≥4－3a＋c22＝1，当且仅当a＝c＝1时，取等号，所以b≥1，所以a＋c＋b≥3；又a＋c＝2b，所以a＋c＋b4，所以△ABC周长的取值范围是[3,4)。故选B。答案B考点四三角形与平面向量的综合应用【典例4】(2017·石家庄一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinCsinA－sinB＝a＋ba－c。(1)求角B的大小。解(1)因为sinCsinA－sinB＝a＋ba－c，由正弦定理得ca－b＝a＋ba－c，所以c(a－c)＝(a＋b)(a－b)，即a2＋c2－b2＝ac。又因为a2＋c2－b2＝2accosB，所以cosB＝12。因为B∈(0，π)，所以B＝π3。(2)点D满足BD→＝2BC→，且线段AD＝3，求2a＋c的最大值。(2)在△ABD中由余弦定理，知c2＋(2a)2－2·2a·c·cosπ3＝32，所以(2a＋c)2－9＝3·2ac。因为2ac≤2a＋c22，所以(2a＋c)2－9≤34(2a＋c)2，即(2a＋c)2≤36，当且仅当2a＝c，即a＝32，c＝3时取等号，所以2a＋c的最大值为6。三角形与平面向量的结合主要是在三角形中正、余弦定理与平面向量的线性运算、数量积运算的综合。其方法是把线性运算和数量积运算转化为三角形的边角关系，然后再利用正、余弦定理求解。【变式训练】(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知b＝3，AB→·AC→＝－6，S△ABC＝3，求A和a。解因为AB→·AC→＝－6，所以bccosA＝－6，又S△ABC＝3，所以bcsinA＝6，因此tanA＝－1，又0Aπ，所以A＝3π4。又b＝3，所以c＝22。由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝9＋8－2×3×22×－22＝29，所以a＝29。