第三章 概率与概率分布

统计学STATISTICS3－1第3章概率与概率分布3.1随机事件及其概率3.2随机变量及其概率分布3.3大数定律与中心极限定理统计学STATISTICS3－23.1随机事件及其概率一、随机试验与随机事件二、随机事件的概率三、概率的运算法则统计学STATISTICS3－3一、随机试验与随机事件统计学STATISTICS3－4必然现象与随机现象必然现象（确定性现象）–变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果–这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（偶然现象、不确定现象）–在一定条件下可能发生也可能不发生的现象–个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定–大量观察的结果会呈现出某种规律性（随机性中寓含着规律性）——统计规律性十五的夜晚能看见月亮？十五的月亮比初十圆！统计学STATISTICS3－5随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件：–试验可以在系统条件下重复进行；–试验的所有可能结果是明确可知的；–每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。–实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。统计学STATISTICS3－6随机事件（事件）随机事件（简称事件）–随机试验的每一个可能结果–常用大写英文字母A、B、……、来表示基本事件（样本点）–不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间（Ω）–基本事件的全体（全集）统计学STATISTICS3－7复合事件–由某些基本事件组合而成的事件–样本空间中的子集随机事件的两种特例–必然事件•在一定条件下，每次试验都必然发生的事件•只有样本空间才是必然事件–不可能事件•在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件•不可能事件是一个空集（Φ）统计学STATISTICS3－8二、随机事件的概率1.古典概率2.统计概率3.主观概率4.概率的基本性质统计学STATISTICS3－9随机事件的概率概率–用来度量随机事件发生的可能性大小的数值–必然事件的概率为1，表示为P()=1–不可能事件发生的可能性是零，P()=0–随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)1概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。统计学STATISTICS3－101、概率的古典定义古典概型（等可能概型）——具有以下两特点–每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）–每个试验结果出现的可能性相同——它是概率论的发展过程中人们最早研究的对象统计学STATISTICS3－11概率的古典定义–前提：古典概型–定义（公式）计算古典概率常用到排列组合知识nmAAP＝数样本空间中基本事件总中包含的基本事件数事件)(统计学STATISTICS3－12【例3-1】设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少？抽到的两件产品均为次品的概率又是多少？解：任一件被抽到的机会均等，而且从50件产品中抽出2件相当于从50个元素中取2个进行组合，共有C502种可能，所以这是一个古典概型。统计学STATISTICS3－132、概率的统计定义当试验次数n很大时，事件A发生频率m/n稳定地在某一常数p上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义p为事件A发生的概率nmpAP)(当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频率方法）统计学STATISTICS3－14例（补充）根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。试验者试验次数正面出现的频率蒲丰40400.5069K.皮尔逊120000.5016K.皮尔逊240000.5005罗曼诺夫斯基806400.4979统计学STATISTICS3－15【例3-2】某地区几年来新生儿性别的统计资料如下表所示，由此可判断该地区新生儿为男婴的概率是多少？观察年份新生儿数（个）男婴数（个）男婴比例（％）200016248270.509200112056220.516200215127740.512200314077150.508统计学STATISTICS3－163、主观概率有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似主观概率——依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小–例如某经理认为新产品畅销的可能性是80％人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据统计学STATISTICS3－174.概率的基本性质非负性：–对任意事件A，有0P(A)1。规范性：–必然事件的概率为1，即：P()=1–不可能事件的概率为0，即：P()=0。可加性：–若A与B互斥，则：P(A∪B)=P(A)+P(B)–对于多个两两互斥事件A1，A2，…，An，则有：P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。统计学STATISTICS3－18三、概率的运算法则1.加法公式2.乘法公式3.全概率公式和贝叶斯公式统计学STATISTICS3－191.加法公式用于求P(A∪B)——“A发生或B发生”的概率互斥事件（互不相容事件）–不可能同时发生的事件–没有公共样本点P(A∪B)=P(A)+P(B)互斥事件的加法公式ΩABP(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)统计学STATISTICS3－20【例3-3】设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，若问至少抽到一件次品的概率？解：“至少抽到一件次品”这一事件实质上就是“抽取的2件产品中有一件次品”（记为A）与“抽取的两件产品均为次品”（记为B）这两个事件的和。由于A与B是两个互斥事件，故计算“至少抽到一件次品”的概率采用公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)统计学STATISTICS3－21互补事件互补事件–不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件互补事件的概率之和等于1()()1()1()PAPAPAPA或AA例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6。统计学STATISTICS3－22相容事件的加法公式相容事件–两个事件有可能同时发生–没有公共样本点相容事件的加法公式（广义加法公式）ABΩP(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)ABΩAB事件的积（交）AB事件的和（并）统计学STATISTICS3－23【例3-4】将分别写有0至9这十个号码的小球装入一容器中，反复搅拌之后任意摇出一个小球，观察其号码。试求出现“奇数或大于等于4的数”的概率。解：所求事件＝奇数(A)＋大于等于4的数(B)＝{0,1,2,3,…,9}，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{4,5,6,7,8,9}由于等可能性，P(A)=5/10,P(B)=6/10。P(A)+P(B)1,显然P(A∪B)≠P(A)＋P(B)因为A和B存在共同部分AB＝{5,7,9}，P(AB)＝3/10。在P(A)+P(B)中P(AB)被重复计算了。正确计算是：P(A∪B)＝5/10＋6/10－3/10＝8/10＝0.8统计学STATISTICS3－242.乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。——也即“A发生且B发生”的概率P(AB)先关注事件是否相互独立统计学STATISTICS3－25（1）条件概率条件概率—在某些附加条件下计算的概率在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率——P(A|B)条件概率的一般公式：)()()|(BPABPBAP其中P(B)0统计学STATISTICS3－26【例3-5】某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：①已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；②已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：设A＝“甲厂产品”，B＝“一级品”，则：P(A)＝0.4，P(B)＝0.64，P(AB)＝0.28①所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率P(A|B)＝0.28/0.64②所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率P(B|A)＝0.28/0.4统计学STATISTICS3－27P(A|B)＝在B发生的所有可能结果中AB发生的概率即在样本空间Ω中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了（1）条件概率（续）一旦事件B已发生ABΩABBAB统计学STATISTICS3－28乘法公式的一般形式：P(AB)＝P(A)·P(B|A)或P(AB)＝P(B)·P(A|B)【例3-6】对例3-1中的问题（从这50件中任取2件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样）解：A1＝第一次抽到合格品，A2＝第二次抽到合格品，A1A2＝抽到两件产品均为合格品P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝8082.02450198049445045＝统计学STATISTICS3－29事件的独立性两个事件独立–一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率–P(A|B)＝P(A)，或P(B|A)＝P(B)独立事件的乘法公式：P(AB)＝P(A)·P(B)推广到n个独立事件，有：P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)统计学STATISTICS3－303.全概率公式完备事件组–事件A1、A2、…、An互不相容，–A∪A2∪…∪An＝Ω–且P(Ai)0（i=1、2、...、n）对任一事件B，它总是与完备事件组A1、A2、…、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：niiiABPAPBP1)|()()(＝统计学STATISTICS3－31例3-7假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为2/3，他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生作出作答的概率？解：设A＝知道正确答案，B＝选择正确。“选择正确”包括：•“知道正确答案而选择正确”（即AB）•“不知道正确答案但选择正确”（即）P(B)＝（2/3）×1＋（1/3）×（1/4）＝3/4BA)|()()|()()()()(ABPAPABPAPBAPABPBP＝＝统计学STATISTICS3－32全概率公式——贝叶斯公式全概率公式的直观意义：–每一个Ai的发生都可能导致B出现，每一个Ai导致B发生的概率为，因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai引发的概率的总和相反，在观察到事件B已经发生的条件下，确定导致B发生的各个原因Ai的概率——贝叶斯公式（逆概率公式）（后验概率公式）统计学STATISTICS3－33贝叶斯公式若A1、A2、…、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有：niiiiiiiABPAPABPAPBPBAPBAP1)|()()|()()()()|(＝＝计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。–公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率–P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率统计学STATISTICS3－343.2随机变量及其概率分布一、随机变量的概念二、随机变量的概率分布三、随机变量的数字特征四、常见的离散型概率分布五、常见的连续型概率分布统计学STATISTICS3－35一、随机变量的概念统计学STATISTICS3－36一、随机变量的概念随机变量——表示随机试验结果的变量–取值是随机的，事先不能确定取哪一个值–一个取值对应随机试验的一个可能结果–用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z…来表示根据取值特点的不同，可分为：–离散型随机变量——取值可以一一列举–连续型随机变量——取值不能一一列举统计学STATISTICS3－37二、随机变量的概率分布