理论力学 转动惯量

转动惯量西北工业大学支希哲朱西平侯美丽动力学转动惯量转动惯量§5质量对称分布刚体的惯性主轴方向的判定§4刚体对任意轴的转动惯量§3转动惯量的平行轴定理§2简单形状匀质刚体的转动惯量§1转动惯量的概念动力学目录转动惯量转动惯量§1转动惯量的概念转动惯量的概念回转半径转动惯量的一般表达式极转动惯量转动惯量转动惯量1.转动惯量的概念刚体对轴z的转动惯量，是刚体内所有各点的质量与其对该轴的转动半径的平方的乘积的总和（如图1）。2zzmrJ可见，转动惯量永远是正值。可以表示为图1xyzAOrzxyzrz影响转动惯量大小的因素。●整个刚体质量的大小。●刚体各部分的质量分布。●转轴的位置。szzmrJd2对于质量连续分布刚体：§1转动惯量的概念转动惯量2zzmrJ所以，当谈到刚体的转动惯量时，应指出它是对哪个轴来说的。在国际单位制中，转动惯量的常用单位是kg·m2。●整个刚体质量的大小。●刚体各部分的质量的分布。●转轴的位置。影响转动惯量大小的因素。刚体的转动惯量是刚体在转动时惯性的度量。szzmrJd2图1xyzAOrzxyzrz§1转动惯量的概念转动惯量2.回转半径刚体对于某轴z的转动惯量与其质量m之比值的平方根为一个当量长度，称为刚体对于该轴的回转半径。因此，有关系式2zzmJ,mJzz可见，如果假想地把刚体的全部质量集中于一点，而不改变这刚体对于该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离应等于回转半径。§1转动惯量的概念转动惯量3.转动惯量的一般表达式)(222yxmmrJzz同理，可得刚体对轴x和轴y的转动惯量计算式，合并写成)(222zymmrJxx)(222xzmmrJyy)(222yxmmrJzz取固连于刚体的坐标Oxyz，设刚体内任一质点A的坐标是（x，y，z），用rz表示点A到轴z的距离，则（如图2）。222yxrz故得刚体对轴z的转动惯量的计算式图2xyzAOrzxyzrz§1转动惯量的概念转动惯量4.极转动惯量对于平面薄板，使平板表面重合于坐标平面Oxy（如图3），2myJx2mxJy此时有yxzJJJ薄板对与板面垂直的轴的转动惯量，称为薄板的极转动惯量。上式指出，薄平板的极转动惯量，等于薄板对板面内与极轴z共点并相互正交的任意两轴的转动惯量之和。如果薄板内各点的坐标z可以忽略，则式简写成图3xzyOyAxr§1转动惯量的概念)(22yxmJz转动惯量§2简单形状匀质刚体的转动惯量转动惯量转动惯量在杆沿轴线x上任一小段dx，其质量，对轴z的转动惯量元素是xlmd例题1下面举例说明一些简单形状匀质刚体的转动惯量的积分计算方法。例题1已知匀质细长直杆的质量是m，长度是l（如图4），求它对于过质心C且与杆相垂直的轴z的转动惯量。解：xlmxJzdd2匀质细长直杆对轴z的转动惯量是22232221213dmlxlmxxlmJllllz图4lxzxdxl/2C2121mlJz§2简单形状匀质刚体的转动惯量转动惯量由图可见，矩形板在y方向的尺寸a不影响Jy，故可利用上例的结果。例题2例题2已知匀质矩形薄平板的质量是m，边长为a和b（如图5），求这薄板对垂直板面中心C的轴z转动惯量。解：2121mbJy类似地可得2121maJx利用)(12122baJJJyxzbCxyadxzlxxdxl/2C§2简单形状匀质刚体的转动惯量图5yxzJJJ薄板的极转动惯量为转动惯量例题3例题3已知匀质薄圆盘的半径是r，质量是m（如图6），求它对垂直于盘面质心轴Oz的转动惯量。取任一半径为ζ，宽为dζ的圆环，其质量是解：d2dπ2πd22rmrmm对轴z的转动惯量元素是d2)d(d322rmmJz于是，求得圆盘对轴z转动惯量2042032212d2mrrmrmJrrz考虑到Jx=Jy，即可求得24121mrJJJzyx图6xyOrζ221mrJz§2简单形状匀质刚体的转动惯量转动惯量§3转动惯量的平行轴定理转动惯量转动惯量设刚体的质量为m，对轴z′的转动惯量是。轴z与轴z′相平行且相距d。求此刚体对轴z的转动惯量。取坐标系如图所示，令，轴y重合于轴y′。设刚体内任一质点A的质量是mi，则刚体对轴z的转动惯量是2222)()(dyxmyxmJiiz222)()(2)(dmdymyxmiiiCiiymdymd)(2)(2上式右端第一项就是Jz′，第三项是(∑mi)d2，至于第二项，根据质心C坐标公式图7dOOzJiiiCmymy得知xyzAOxyzz′x′y′dO'C§3转动惯量的平行轴定理转动惯量在实际应用中，常令轴z′通过质心C，因而yC′=0。于是得关系式2mdJJzCz即，刚体对任一轴的转动惯量，等于它对该轴相平行且通过质心的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两个轴之间距离平方的乘积。这就是转动惯量的平行轴定理。2222)()(dyxmyxmJiizCiiymdymd)(2)(2222)()(2)(dmdymyxmiiixyzAOxyzz′x′y′dO'C§3转动惯量的平行轴定理图7转动惯量例题4例题4解：22231)2(1211mllmmlJzlzl/2CAz121mdJJCzz1.已知杆长l，质量是m。求通过杆端A并与轴z平行的轴z1的转动惯量。2.已知半径r，质量是m。求通过点A并与质心轴z平行的轴z1的转动惯量。ACz1z22212321mrmrmrJz§3转动惯量的平行轴定理图8图9解：转动惯量例题5例题5冲击摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆盘组成（如图10）。已知杆长l，质量是m1；圆盘半径是r，质量是m2。求摆对通过杆端O并与圆盘面垂直的轴z的转动惯量。解：21JJJz22222121)(21)2(121lrmrmlmlm)243(213122221lrlrmlm图10OC1C2lr§3转动惯量的平行轴定理A转动惯量思考题1思考题1钟摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆环组成（如图11）。已知杆长l，质量是m1；环质量是m2。求摆对通过杆端O并与圆环面垂直的轴Oz的转动惯量。解：rR1JJJJz21211)2(121lmlmJ])(21[(31222221）（lrrRmlmJzOC1lCrR2222222222r))(π)(π()π)(π(21lRrrRmrrrRmJ2222222222R))(π)(π()π)(π(21lRRrRmRRrRmJ§3转动惯量的平行轴定理图11A转动惯量思考题2思考题2匀质曲杆OAB如图12所示。已知质量是m，求曲杆对通过杆端O并与曲杆面垂直的轴Oz的转动惯量。解：ABOAzJJJ2)(31aabamJOAOCaAbB)4)(()(121222babambbbbamJAB§3转动惯量的平行轴定理图12转动惯量例题6例题6求半径为r、高度是l、质量是m的匀质正圆柱对平行于底面的质心轴Cx的转动惯量（如图13）。取圆柱上由两个平行底面的截面所截出的薄圆盘作为单元体。此薄圆盘对于轴x的转动惯量等于解：22d4ddzmmrJz其中薄圆盘的质量zlmmdd图13zzyxdzC§3转动惯量的平行轴定理转动惯量同理可以求得2212141mlmrJJxy整个圆柱体对于轴x的转动惯量是zlmzrJJllvxzd)4(d2222)(2212141mlmrzzyxdzC§3转动惯量的平行轴定理图13转动惯量§4刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴惯性积刚体对任意轴的转动惯量惯性主轴转动惯量转动惯量设Oxyz是固连在刚体上的坐标系，轴线OL与坐标轴x，y，z的交角用α，β，γ表示（如图14）。刚体对轴OL的转动惯量2LmrJ式中222)()(OBOArLcoscoscoszyxOB其中OB是矢r=OA在轴OL上的投影。因，故2222)(zyxOA2Lr)(222zyx2)coscoscos(zyx图14xzAOrLyBLαβγ由矢量投影定理得§4刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴转动惯量考虑到，有1coscoscos2222Lr)(222zyx)coscos(cos2222)coscoscos(zyx222222222cos)(cos)(cos)(yxxzzycoscos2coscos2coscos2xyzxyz于是，刚体对轴OL的转动惯量是2222cos)(zymmrJL222cos)(xzm222cos)(yxmcoscos2yzmcoscos2zxmcoscos2xym（a）§4刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴2Lr)(222zyx2)coscoscos(zyx转动惯量式中分别是刚体对轴x，y和z的转动惯量。)(22zymJx)(22xzmJy)(22yxmJz(1)2222cos)(zymmrJL222cos)(xzm222cos)(yxmcoscos2yzmcoscos2zxmcoscos2xym（a）§4刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴转动惯量惯性积惯性积也可用转动惯量的同样单位计算，它的大小也决定于刚体的质量、质量分布以及坐标轴位置这三个因素。但是，惯性积可正、可负，也可以等于零（转动惯量永远是正）。惯性积zmyJyzzxmJzxmxyJxy(2)分别称为刚体对轴y和z、对轴z和x以及对轴x和y惯性积。式中§4刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴2222cos)(zymmrJL222cos)(xzm222cos)(yxmcoscos2yzmcoscos2zxmcoscos2xym（a）转动惯量刚体对任何轴的转动惯量把式（1）和式（2）代入（a）式最后得刚体对于轴OL的转动惯量再应用转动惯量的平行轴定理，即可求出刚体对任意轴的转动惯量。coscos2coscos2coscos2coscoscos222xyzxyzzyxJJJJJJJxzOyLAdL′刚体对任意轴的转动惯量(1)zmyJyzzxmJzxmxyJxy(2)§4刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴图15)(22zymJx)(22xzmJy)(22yxmJz转动惯量惯性主轴●适当地选择坐标系Oxyz的方位，总可使刚体的两个惯性积同时等于零，例如Jyz=Jzx。这时，与这两个惯性积同时相关的轴Oz称为刚体在O处的一根惯性主轴。●刚体对惯性主轴的转动惯量称为主转动惯量。●如果惯性主轴还通过刚体质心，则称为中心惯性主轴。●刚体对中心惯性主轴的转动惯量称为中心主转动惯量。对刚体的任一点O都可以有三个相互垂直的主轴。惯性主轴§4刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴coscos2coscos2coscos2coscoscos222xyzxyzzyxJJJJJJJ转动惯量现在取刚体在质心C的三根中心惯性主轴为坐标轴x，y，z，Jxy=Jyz=Jzx=0，则刚体对任一质心轴CL的转动惯量为222coscoscosCzCyCxCLJJJJ应用转动惯量的平行轴定理，即可求得刚体对任何与轴CL相平行的轴OL′的转动惯量。2mdJJCL2222coscoscosmdJJJCzCyCx刚