理论力学_6D

1质点系动力学专题讨论2１.质点系相对动点(平移动系)的动量矩定理(e)(i)RRe()iiriiidmdtvFFFx'x'y'zAyzo'irirvAaimeiFnimt1e)(rA)()(ddAACiAarFMLniCCt1e)(r)(ddiFML质点系相对质心的动量矩定理：质点系相对动点的动量矩定理：3２.质点系相对动系的动能定理(e)(i)RReiriiiiicdmdtvFFFFicF：作用于第i个质点上的科氏惯性力(e)(i)RReiririiriiriiriiricdmdtvvvFvFvFvF2(e)'(i)''RRe12iiriiiiiidmvdrdrdrFFF相对运动中的动能定理:质点系在相对运动中的动能的变化,等于作用于质点系上所有内力、外力及牵连惯性力所做的功。4牵连惯性力有势的情况：(1)=常矢(动系匀加速平移)eacieimFc(2)动系作匀速定轴转动oxyz'z'x'y记：则：质点系的惯性力势能(称为离心势能)：2'22'2'21122ieiiiiiVmrmxy2'22'2'21122eieiiiiiVVmrmxy'''(''')ieieieieiiiVVVxyzFijk2''('')ieiiimxyFij53.势力场中的质点系动力学力场:一种空间，质点(系)所受力完全由其空间所处位置决定。势力场:一种力场，场力所做的功与质点经过的路径无关，这样的力场称为势力场或保守力场。势能:质点从某一位置A到基准点Ao，有势力所做的功，称为质点在该位置的势能。基准点的势能为零。0(,,)AAVxyzW设作用在质点上的有势力为：则有zVFyVFxVFzyx,,xyzFFFFijk6质点系在势力场中的运动微分方程记质点系的势能函数为：直角坐标系下质点系的运动方程：111(,,,...,,,)nnnVVxyzxyziiiiiiiiiVmxxVmyyVmzz1,2,...,in74.中心力场中质点的运动()FFrrFom由对力心o点的动量矩守恒：mrvH=常矢两边点乘：r0Hr记：ABCxyzHijkrijk则有：0AxByCz即质点的运动轨迹落在过力心o的平面上。问题简化成平面问题。v8对于万有引力：运动微分方程：引力势能(令处引力势能为零)：3()MGmrrFrMVGmr322223222232222VGMmxmxxxyzVGMmymyyxyzVGMmzmzzxyz9在平面情况下：一般写成极坐标形式。动力学方程可以精确求解(称为可积)。在适当的初始条件下，质点可以绕力心作圆周运动(特解)。32223222VGMmxmxxxyVGMmymyyxy105.极坐标下的质点运动学方程0roxr极坐标系统:质点的运动方程:0rrr质点的速度:vr00rrrr0r0θ0θ00rr0r021sin2r000limttrr0θ00limttθ同理:00θr()rr0000(),()rrθθ110000rθθr质点的运动方程:0rrr质点的速度:vr00rrrr00rrrθ质点的加速度:av0000rrrrrrrθθ2002rrrrarθ00rrvrθ0roxr0r0θ极坐标下的质点运动学方程126.引力场中的质点动力学2002rrrrarθ质点的运动微分方程:2220GmMmrrrmrr2102dmrdt即:Kepler第二定律:行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。212rhoxr0r0θ1322GmMmrrr21drd1r22hr2dhd2ddrhdtd2ddhdd22222dhhdr222244dhhGMd222222242hdhGMrrdrr作变量代换:关于时间求导则有:212rh14222244dhhGMd021cos4GMeh01cospre24hpGMe=0:圆0e1:椭圆e=1:抛物线e1:双曲线的一枝解得:得轨迹方程:0,,he：由初条件确定。15两个具有球对称性的物体(视为质点)无外力作用,在空间自由运动,相互间有作用力(沿两者连线).行星绕日,或人造卫星绕地等,都可以近似用该模型.该问题最终可以化成单个自由质点在中心力作用下的运动问题.7.二体问题16考虑二体问题(如图所示):xy1m2mCoz1r2rCrr2112Cmmmrrr1212Cmmmrrr由Newton定律:两式相加:12()Cmmr0121211112Cmmmmmmfrrr212122212Cmmmmmmfrrr17Cr0即质心做惯性(匀速直线)运动.12122112mmmmmfffrr即问题化为:一个(等效)质量为的质点在中心力作用下的运动问题.1212mmmmm对于万有引力：1212213mmGrrfff二体问题已被解决.在适当的初始条件下，r可以绕质心C作圆周运动(特解)121211112Cmmmmmmfrrr212122212Cmmmmmmfrrr18xy1m2mCoz1r2rCrr在适当的初始条件下，r可以绕质心C作圆周运动(特解)19n(n2)个具有球对称性的物体(视为质点)无外力作用,在空间自由运动,相互间有作用力(沿两者连线).一般的n-体问题的自由度为3n(3n个位置坐标),相空间的维数为6n(位置+速度).具有6n个积分常数.二体问题已被解决.三个以上的n体问题无法解决.n体问题二体问题已被解决.但三体问题无法精确求解.三体问题20限制性三体问题:其中一个物体的质量很小,以至于对其他两个物体的运动的影响可以忽略.两个大质量物体的运动可以通过二体问题被解决.限制性三体问题转化成：质点在两个大质量物体的引力作用下的动力学问题.研究较多的情况是:两个大质量物体绕它们的质心作同平面的圆周运动.此时如果小质量物体作空间运动,得到的是一个三自由度系统;如果再限制小质量物体作平面运动,则得到的是一个二自由度系统.8.限制性三体问题21两个大质量绕它们的质心作同平面圆周运动(平面问题):mSJxyJρSρ限制性圆轨三体问题22两个大质量绕它们的质心作同平面圆周运动(空间问题):xSJzyom(,,)xyzSρJρab限制性圆轨三体问题23限制性圆轨三体问题(CR3BP)运动微分方程:其中,有效(effective)势能:***12121VxymxVyxmyVzmz*22201()2SJSJmmVVTGmmxy222()Sxayz222()Jxbyz科氏加速度分量离心势能24限制性圆轨三体问题(CR3BP)可以适当选择时间的单位,使得:1可以适当选择质量的单位,使得:1SJmm不难验证,在这样的单位选择下,有:1ab记大质量物体J的质量为,则物体S的质量为(1-).动能:2221()()2Tmxyyxz势能:可以适当选择长度的单位,使得:1G1SJVm25两个大质量绕它们的质心作同平面圆周运动(空间问题):限制性圆轨三体问题(CR3BP)xSJzyom(,,)xyzSρJρ1126限制性圆轨三体问题(CR3BP)——平面情况运动微分方程:其中,有效势能:**22VxyxVyxy*22011()2SJVVTxy22()Sxy22(1)Jxy27习题5-26由相对运动中的动能定理牵连惯性力有势：则有：相对初始速度为零，有相对运动中的机械能关系：ro0rxM0MrveF2eFmr2212eVmr0reretTVTV2222201110222rmvmrmr220rvrr28习题5-26受力分析：水平面内的动力学方程：向相对轨迹的切向投影：ro0rxM0MrveF2eFmrNFCF2CrFvrNeCmaFFFsinredvmFdt两边同乘相对轨迹的微小弧长ds：sinredsmdvFdsdtrr当ds0时：CrFsindsdr2rrmvdvmrdr020rvrrrrmvdvmrdr