§12.8 常系数齐次线性微分方程

第八节常系数齐次线性微分方程•一、定义•二、二阶常系数齐次线性方程解法•三、n阶常系数齐次线性方程解法•四、小结一、定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnnn阶常系数线性微分方程的标准形式0qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法,rxey设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程,2422,1qppr特征根0qyypy有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy)0(特征根为有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则,)(12xrexuy设另一特解为特征根为有一对共轭复根,1ir,2ir,)(1xiey,)(2xiey)0(重新组合)(21211yyy,cosxex)(21212yyiy,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx特征根为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法..044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例1.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得,2121ir，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例2三、n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110ik复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(11101110注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.nnyCyCyCy2211特征根为,,,154321irrirrr故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx解,01222345rrrrr特征方程为,0)1)(1(22rr.022)3()4()5(的通解求方程yyyyyy例3四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx思考题求微分方程的通解.yyyyyln22思考题解答,0y,ln22yyyyy,lnyyy,lnyyyx,lnlnyy令yzln则,0zz特征根1通解xxeCeCz21.ln21xxeCeCy一、求下列微分方程的通解:1、04yy；2、02520422xdtdxdtxd；3、0136yyy；4、0365)4(yyy.二、下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、0,2,04400xxyyyyy；2、3,0,013400xxyyyyy.三、求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使3,2,,1xxxeee都是它的解.四、设圆柱形浮筒,直径为m5.0,铅直放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的s2周期为,求浮筒的质量.练习题练习题答案一、1、xeCCy421；2、tetCCx2521)(；3、)2sin2cos(213xCxCeyx；4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221.二、1、)2(2xeyx；2、xeyx3sin2.三、0yy.(提示:为两个xe,1线性无关的解)四、195Mkg.