第五章：模拟信号分析

第五章模拟信号分析调制滤波器思考题（作业）引言模拟信号分析是直接对连续时间信号进行分析处理的过程，是利用一定的数学模型所组成的运算网络来实现的。从广义讲，它包括了调制、滤波、放大、微积分、乘方、开方、除法运算等。模拟信号分析的目的是便于信号的传输与处理，例如，信号调制后的放大与远距离传输；利用信号滤波实现剔除噪声与频率分析；对信号的运算估值，以获取特征参数等。§5-1调制一、调制的概念在测试技术中，许多情况下需要对信号进行调制。例如，被测物理量，如温度、位移、力等参数，经过传感器变换以后，多为低频缓变的微弱信号，当采用交流放大时，需要予以调幅；电容、电感等传感器采用了调频电路，这时是将被测物理量转换为频率的变化；在信号分析中，信号的截断、窗函数加权等亦是一种振幅调制；对于混响信号，所谓由于回声效应引起的信号的叠加、乘积、卷积等，其中乘积即为调幅现象。所谓调制就是使一个信号的某些参数在另一信号的控制下而发生变化的过程。前一信号称为载波，一般是较高频率的交变信号。后一信号(控制信号)称为调制信号。最后的输出是已调制波。已调制波一般都便于放大和传输。最终从已调制波中恢复出调制信号的过程，称为解调。实际上，许多传感器的输出就是一种已调制信号，因此，调制—解调技术在测试领域中极为常用。根据载波受调制的参数的不同，调制可分为调幅(AM)、调频(FM)和调相(PM)。§5-1调制二、幅度调制1、调幅与解调原理调幅是将一个高频简谐信号(载波)与测试信号(调制信号)相乘，使高频信号的幅值随测试信号的变化而变化的过程。现以频率为f0的余弦信号作为载波进行讨论。tytxfYfXtf02cos002121fffftftx02cos002121fffXfffX一个函数与单位脉冲函数卷积的结果，就是将其图形由坐标原点平移至该脉冲函数处。所以，若以高频余弦信号作载波，把信号x(t)和载波信号相乘，其结果就相当于把原信号的频谱图形由原点平移至载波频率f0处，其幅值减半的过程。也就是说，调幅过程就是相当于频谱“搬移”的过程。§5-1调制若把调幅波再次与原载波信号相乘，则频域图形将再一次进行“搬移”，其结果如图所示。若用一个低通滤波器滤去中心频率为2f0的高频成分，那么将可以复现原信号的频谱(只是其幅值减小为一半，这可用放大处理来补偿)，这一过程称为同步解调。“同步”指解调时所乘的信号与调制时的载波信号具有相同的频率和相位。时域分析中也可看到：tftxtxtftftx0004cos2122cos2cos§5-1调制由此可见，调幅的目的是使缓变信号便于放大和传输。解调的目的则是为了恢复原信号。广播电台把声音信号调制到某一频段，既便于放大和传送，也可避免各电台之间的干扰。在测试工作中，也常用调制—解调技术使在一根导线中传输多路信号。从调幅原理看，载波频率f0必须高于原信号中的最高频率fm才能使已调波仍保持原信号的频谱图形，不致重叠。为了减小放大电路可能引起的失真，信号的频宽(2fm)相对中心频率(载波频率f0)应越小越好。实际载波频率常至少数倍甚至数十倍于调制信号。幅值调制装置实质上是一个乘法器。现在已有性能良好的线性乘法器组件。霍尔元件也是一种乘法器；电桥在本质上也是一个乘法装置，若以高频振荡电源供给电桥，则输出为调幅波。霍尔元件：电桥：siniBkVHH00URRUy§5-1调制上述调制方法是将调制信号x(t)直接与载波z(t)相乘，信号过零线时，调幅波相对于载波发生1800的相位突变，这种方法称为抑制调幅。抑制调幅波必须采用同步解调方法才能反映出原信号的幅值和极性。若把调制信号x(t)进行偏置，加上一个直流分量A，使偏置后的信号都具有正电压，此时调幅波表达式为：tftxAtxm02cos)]([)(式中m=1称为调幅指数。这种调幅方法称为非抑制调幅或偏置调幅。其调幅波的包络线具有原信号的形状。一般采用整流加滤波(称包络检波法)的方法恢复原信号。tftmxAtxm02cos)](1[)(或：§5-1调制2、调幅波的波形失真过调失真：对非抑制调幅，其直流偏置必须足够大，要求调幅指数m=1。当m1时，当x(t)取最大负值时，A[1+mx(t)]可能小于0，这意味着x(t)的相位将发生1800的突变，这种现象称为过调。此时用包络检波法检出的信号会产生失真。重叠失真：调幅波是由一对每边为fm的双边带信号组成的。当载波频率f0较低时，正频端的下边带将与负频端的上边带相重叠。为避免重叠失真，应使f0fm。实际应用中，载波频率至少数倍甚至数十倍于信号中最高频率。调幅波通过系统时的失真§5-1调制典型调幅波及其频谱§5-1调制三、调频波及其频谱调频(频率调制)是利用信号电压的幅值调制载波的频率调频波是随信号而变化的疏密不等的等幅波。频率调制与幅度调制相比，可改善信噪比。其主要原因是调频信号所携带的信息包含在频率变化中，而干扰波的干扰作用主要表现在振幅之中。调频方法也存在着严重的缺点：调频波通常要求很宽的频带，甚至为调幅所需带宽的20倍；调频系统比较复杂，是一种非线性调制，不能利用叠加原理。角频率ω可定义为相位对时间的导数，即：ω=dφ/dt—角速度。频率调制就是利用瞬时频率dφ/dt来表示信号的调制：)cos()(Atxt)](1[/0txdtd式中：ω0是载波的中心频率，ω0x(t)是载波被信号所调制部分。此式表明，调频波频率随调制信号x(t)而变化。§5-1调制)](1[/0txdtddttxt)(00由得设调制信号为：tAtxcos)(则调频波表达式为：]sinsin[]sinsin[]cossin[])(sin[)sin()(0000000tmtGtAtGtdtAtGdttxtGGtgf式中：mf=Aω0/ω称为调频指数，Aω0是实际变化的频率幅度，称为最大频率偏移，或表示为Δω=Aω0。§5-2滤波器概述滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其它频率成分。在测试装置中，利用滤波器的这种筛选作用，可以滤除干扰噪声或进行频谱分析。一、理想滤波器1、模型§5-2滤波器理想滤波器的脉冲响应)()(sin)]([)(001ttHFthccc当t=τ0时，h(t)=ωc/π，τ0称为相时延，表示信号通过系统时的时间滞后；当t=τ0±nπ/ωc（n=1,2,3…）时，h(t)=0，表明h(t)具有周期性；当t≤0时，h(t)≠0，表明在激励信号输入之前就有响应输出。由此说明，理想滤波器不可能存在。§5-2滤波器理想滤波器的阶跃响应图中：τd=2π/ωc可定义为阶跃响应的上升时间。又因为滤波器通频带宽为B=ωc/2π[Hz]，故τd=1/B。若按理论响应值的0.1—0.9作为阶跃响应的上升时间，则τ’d=0.45/B。由此可知，低通滤波器对阶跃响应的上升时间与通带宽度成反比。§5-2滤波器二、因果滤波器1、因果滤波器从时域来看，物理可实现条件是，当t0时，h(t)=0，即脉冲响应是有起因的，这一要求称为“因果条件”。从频域特性看，幅频函数|H(ω)|可实现的条件是满足佩利-维纳准则：dHdH22|)(|1||)(|ln|且不满足此准则的幅频函数，该网络的脉冲响应就是无起因的，即响应等于激励之前。若某系统的幅频函数在某一频带内|H(ω)|=0，则上式积分不收敛，不满足佩利-维纳准则，系统是非因果的。按此原理，理想低通、高通、带通等滤波器是不可实现的。据此，实际可实现的滤波器，在通频带内不平坦；在过渡带部分不陡直；阻带部分不为零。而滤波器设计是在一定限度内进行逼近的。§5-2滤波器2、可实现的典型滤波网络函数线性系统的传递函数：niimjjnnnnmmmmasbskasasasabsbsbsbsXsYsH1101110111)()()()()(取s=jω，得系统的频率响应函数：niimjjajbjkXYH11)()()()()(式中，ai为第i个极点位置；bj为第j个零点位置；零点m个，极点n个，一般m≤n；k为常数。想实现逼近理想特性的滤波网络，实质就是要确定系数a，b以及阶次n。a，b决定于网络元件参数，n值与实现此函数所需滤波器的元件数量有关，对同一类型的逼近函数，n值越大，逼近特性越好。§5-2滤波器“最佳逼近特性”的标准是根据滤波器性能的不同需要而定的。如从幅频特性提出要求而不考虑相频特性；或只考虑相频特性而不考虑幅频特性等。下面介绍几种常见可实现的滤波网络函数。巴特沃兹滤波器ncH2)/(11|)(|易知，|H(0)|=1为最大值；当ω=ωc时，|H(ωc)|=0.707，此点可作为低通滤波器的截止频率；随着n的增大，幅频特性曲线与理想特性曲线越接近。在(ω/ωc）1时为通带，(ω/ωc）1时为阻带。它只考虑幅频特性，其幅频特性相对较平坦。§5-2滤波器切贝雪夫滤波器：它也只考虑幅频特性，图形与前者相似。)/(11|)(|22cnTH式中ε决定通带纹波大小，纹波是由于实际滤波网络中含有电抗元件；Tn是第一类切贝雪夫多项式：1||),(;1||),coscos(11xxnchchxxnTn在(ω/ωc）1时为通带，(ω/ωc）1时为阻带。切贝雪夫滤波器与巴特沃兹滤波器比较，前者的通带有波纹，过渡带较陡直。在不允许通带内有波纹的情况下，巴特沃兹型更可取。从相频特性看，巴特沃兹型要优于切贝雪夫型。§5-2滤波器贝塞尔滤波器：它又称为最平时延或恒时延滤波器，其相移和频率成正比，即时移τ对所有频率为一常数：)(dd贝塞尔型滤波器与巴特沃兹型滤波器比较，其相频特性有较好的线性关系，但其幅频特性较差。3、希尔伯特变换在模拟滤波器设计中的应用系统可实现性的实质就是具有因果性，由于因果性的限制，系统函数的实部与虚部或幅值与相位之间将具有某种相互的制约。这种特性以希尔伯特变换的形式表现出来。对因果系统，其脉冲响应函数h(t)在t0时等于0，因此h(t)=h(t)u(t)u(t)为单位阶跃信号系统频率响应函数：)()()]([)(jIRthFH时域相乘，频域则为卷积关系：)]}([)]([{21)]([tuFthFthF§5-2滤波器于是：)()()]([)(jIRthFH)]}([)]([{21)]([tuFthFthF})(212)({})(212)({}1)()()({2}1)()()({21]}1)([)]()({[21)()(dRIjdIRRIjIRjjIRjIR由此可得：dIR)(1)(dRI)(1)(此两式称为希尔伯特变换对。它提示了因果系统函数实部与虚部的相互信赖关系。若已知实部(虚部)，再任意指定虚部(实部)，那么就不能保证系统的因果性。思考题（作业）1、已知余弦信号x2(t)=cosω0t被三角脉冲x1(t)做幅度调制，求调幅信号xa(t)=x1(t)x2(t)=x1(t)cosω0t的频谱。已知如图所示三角脉冲的Fourier变换为：)4/(sin2)(21cAX0-τ/2tAx1(t)τ/22、已知一理想低通滤波器，其|H(ω)|=1，(ω)=4×10-6ω，截止角频率ωc=6×105rad/s。如果在输入端加一个12V的阶跃信号作为激励，试求：（1）激励信号加入6μs后滤波器输出信号的幅度；（