函数的极值与导数

函数的极值与导数设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法y`0增函数y`0减函数用导数法确定函数的单调性时的步骤是：(1)求函数的定义域（2）求出函数的导函数（3）求解不等式f`(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间求解不等式f``(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间注、单调区间不以“∪”并集出现。而只能用“，”逗号或“和”字隔开知识回顾利用函数的导数讨论函数的单调性．并画图32()267fxxx解：xxxf126)(2令，解得或，2x01262xx0x当时，是增函数；)0,(x)(xf因此，当时，是增函数；),2(x)(xf再令，解得，20x01262xx当时，是减函数；)2,0(x)(xf因此，分析函数在附近的函数值分别与的关系.32()267fxxx2,0xx)2(),0(ff设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)【函数极值的定义】(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。【问题探究】函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf一般地，当函数在点处连续时，判断是极大（小）值的方法是：f’(x0)=00x)(xf)(0xf（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值．0x0)(0xf0)(0xf)(0xf（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．0x0)(0xf0)(0xf)(0xf注：导数为0的点不一定是极值点．。xf，x不是极值则两侧的符号相同如果在)()3(00观察与思考：极值与导数有何关系？对于可导函数,若x0是极值点,则f’(x0)=0;反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件。函数y=f(x)在x0取极值的充分条件是:（1）f’(x0)=0(2)在x0附近的左侧f’(x0)0(0)，右侧f’(x0)0(0)(1)求导函数f`(x)；(2)求解方程f`(x)=0；(3)检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。用导数法求解函数极值的步骤：例、求函数的极值．4431)(3xxxf例题讲解解：)2)(2(42xxxy当x变化时，的变化情况如下表：yy,+0—0+极大值y2(-2,2)-2xy)2,(),2(32834极小值令，解得2,221xx0y当时，y有极大值，并且2x328极大值y当时，y有极小值，并且2x34极小值y例、求函数的极值．1)1()(32xxf解：22)1(6xxy当x变化时，的变化情况如下表：yy,无极值极小值0无极值y+0+0—0—1(0,1)0(-1,0)-1xy)1,(),1(令，解得1,0,1321xxx0y当时，y有极小值，并且0x0极小值y注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②可导函数在极值点的导数一定等于零；③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②3xy如2、函数y=f(x)的导数y/与函数值的变化和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D练习：函数在时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对223)(abxaxxxf1x3,3ba11,4ba1,4ba11,4ba11,4baC，解:由题设条件得：0)1(10)1(/ff0231012baaba解之得11433baba或通过验证，都合要求，故应选择A。注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验3.