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1第二章极限与连续2.1数列极限2.2函数极限极限的基本性质2.3无穷大与无穷小2.4极限的运算法则与复合函数的极限2.5极限存在定理与两个重要的极限2.6函数连续性2§2.6函数连续性一、连续的概念二、连续函数的性质三、函数的间断点四、闭区间上的连续函数3一、连续的概念1.函数的改变量(增量)112212uuuuuuuuuu设变量从它的初值变到终值,则称为变量的改变量或增量。可正可负;是一个整体,不能看注作与:的乘积.40000fxfxfxfxxxyxyff相应地,函数值由变到,称差-为函数在点处的改变量或增量,记作,即00000yfxxxxxxxxxxxxx设函数在点的某邻域有定义,当自变量由变到,称差-为自变量在处的改变量或增量,记作,即x0xy)(xfyxyox5举例例1设函数,求下列自变量与函数的改变量。2()23fxx(1)自变量由2变到2.01;(2)自变量由2变到1.99;解:(1)2.0120.01x22(2.01)(2)(22.013)(223)0.0802yff(2)1.9920.01x22(1.99)(2)(21.993)(223)0.0798yff6(1)定义观察下列函数图形,分析它们有何特征?x0xy)(xfyxyoO0xxy)(xfyyx结论:左图在处是连续的,右图在处是间断的。0xx0xx用什么式子描述??02.fxx在点处连续7(1)定义O0xxy)(xfyyx当趋向于0时,也趋向于0.即xy0lim0yx当趋向于0时,不趋向于0.即0lim0xyxyx0xy)(xfyxyoxx02.fxx在点处连续8(1)定义定义1设函数在点的某个邻域内有定义,在点处给自变量一个增量,相应的函数的增量为,如果,则称函数在点处连续,称为函数的连续点。否则,称函数在处间断,称为函数的间断点。0x0x)(xfy0lim0xy0xxy)(xfy0x)(xfy0x0x)(xfy)(xfy0lim0xy000lim[()()]0xfxxfx000lim()()xfxxfx000xxxxxx记,则时,00limxxfxfx02.fxx在点处连续9等价定义函数在点处连续必须满足下面三个条件:)(xf0x函数在点处有定义,即有意义;)(xf0x0()fx函数在点处有极限,即存在;)(xf0x0lim()xxfx函数在点处的极限值等于函数值,即)(xf0x00lim()()xxfxfx0()yfxx设函数在点的某邻域内有定义,如果00lim()()xxfxfx000()()fxxfxxfxx连续点则称函数,并称为一个。否则在点连续称函数在处间断。(1)定义02.fxx在点处连续10证法一:(2)举例例2用定义证明在处连续.2()23fxx0x2(0)(0)2yfxfx0xx给处以改变量,则相应函数的改变量为证法二:200lim()lim(23)3(0)xxfxxf所以函数在处连续。0x200limlim20xxyx因为,所以函数在处连续0x因为思考:能否证明上述函数在某一点处连续?0x02.fxx在点处连续113、左右连续定义2结论相应于函数左、右极限的概念,关于连续性有设函数在点的某个左邻域内有定义,如果则称函数在点处左连续;设函数在点的某个右邻域内有定义,如果,则称函数在点处右连续。0x)(xfy00lim()()xxfxfx)(xfy0x0x)(xfy00lim()()xxfxfx)(xfy0x用于讨论分段函数在分段点的连续性函数在点处连续的充要条件是函数在点处既左连续又右连续,即0x)(xfy)(xfy0x000limlimxxxxfxfxfx123.左右连续举例sin,0()01,0xxxfxxex讨论函数在处的连续性。例3解:0000000001110,limlim11110limlimsinsin00limlim00xxxxxxxfefxeefxxfxfxfx因为又从而,故函数在处连续。13解:3.左右连续举例21000sin,(),xxfxxaxaxx已知函数在处连续,求的值。例4200000000,limlim01limlimsin00limlim00.xxxxxxfaafxaxaafxxxfxxfxfxfa因为又由于在处连续无穷小与有界函数的乘积仍,所以,为无穷故小14定义34.fxI在区间处连续(),()()()fxIIfxIfxIIfx设函数在区间上有定义且在中的每一点处都连续,则称在上连续,或者称是上的连续函数,区间称为的连续区间。(1)Ifx若区间有左(右)端点,则在这个端点处右注(左)连续。:()()CyfxxI是连续而不间一条断的曲线。()2yfxI如果函数是区间上的连续函数注,则它的图形15(,)lilim,mxaxbfxffxabxaxbfxaafbbxf如果在开区间内每一点都连续,且在左端点处右连续,在右端点处左连续,则称函数在闭区间即上。即连续思考:如何定义半开半闭区间上的连续函数呢?特别地,(,)(,)fxabfxab如果在开区间内每一点都连续,则称在内连续。4.fxI在区间处连续16二.连续函数的性质1.连续函数的四则运算001()()0fxgxxxx定理如果函数与在处连续,则它们的(分母不为)和、差、积都在、商处连续。利用连续函数的定义和极限的四则运算法则,易知:012:.:xI连续函数的和、差、积运算法则可推广到有限个函数的情形;定理中的点可替换成区间注注17000()()()xxfuux定理2设函数在点连续,函数在点0()fxx连续,则复合函数在点连续,即有00lim()lim()xxxxfxfx(1)极限符号可与连续函数符号交换顺序.(2)(*)式可推广到内层函数有极限,外层函数在极限值点处连续的情形.2.复合函数的连续性18解:例5001112ln()limlimxxxxaxx求极限举例10110000011=1111211+0011=1111lim()lnlimln()limln()lnlim()lnlnlimlimlnlnxxxxxxxxttxeyuxexxxexatxtxttttt(1)因为,函数在处连续,所以原式令,则,且当时,原式193.函数连续性的重要结论:1.连续函数的反函数是连续函数;2.基本初等函数在它们的定义域内都是连续的;3.初等函数在其定义区间内都是连续的。常数函数、指、三、幂、对、反定义域是由一个区间或者有限个区间构成,但是定义域不仅包括区间(这个区间就是定义区间!),还包含一些离散点(孤立点),在这些离散点处,函数是不连续的,那么就说初等函数在定义域不连续而只在定义区间是连续的。20解:所以函数在内连续,即函数的连续区间为[2,0)(0,2]2400xx要函数有意义,须即得2002xx或220xx例6243xfxx求函数=的连续区间。举例初等函数在其有定义的区间内连续。[2,0)(0,2]可用于计算极限见P68例2.2621举例0011sinxexabfxaxbxxx求和的值,使函数=在定义域内连续.例7解:0011001101,,,,sin,,,xfxfxefxaxbfxxfxfxxx在其定义域内不是初等函数,但在内,为初等函数;在内,也为初等函数;在内,也为初等函数,故函数在内连续。要函数在定义域内连续,则在分段点和处连续。2200000001111000100=0111110limlimlimlimlimlimlimlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxxfabbfxeefxaxbabbfxxfxfxfbxfababfxaxbababfxxfxx在分段点处,,要在处连续,须即在分段点处,,要在111=10111limlim,xxfxfxfabaabfx处连续,须即故。故当,时,在定义域内连续。0011sinxexabfxaxbxxx求和的值,使函数=在定义域内连续.例7举例23设函数在点处不连续,则称为函数的间断点。0x0x函数在点处无定义,即无意义;)(xf0x0()fx函数在点处无极限,即不存在;)(xf0x0lim()xxfx函数在点处的极限值与函数值不相等,即)(xf0x00lim()()xxfxfx一般来说,对于初等函数而言,间断点就是没有定义的点;对于分段函数来说,除了每个子区间考虑是否有定义外,还需考虑分段点是否连续。三、函数的间断点)(xfy()fx0x如果函数有下列三种情形之一,点就是函数的间断点或不连续点。)(xf)(xf1.间断点的定义24函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷其它2.间断点的分类2500lim()lim()xxxxfxfx,都存在0001lim()lim()xxxxfxfxx,这时称为0000(2)lim()lim()lim()()xxxxxxfxfxfxfx,这时存在,但没有000lim()()xxxxfxf或定义有定义而则称为,可去间断点。跳跃间断点0()xfx以上两类称为函数的第一类间断点;左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃间断点.第一类间断点26跳跃型间断点可去间断点第一类间断点左右极限均存在左右极限不相等左右极限相等2700lim()lim()xxxxfxfx至少有一个,不存在,00000(1)lim()=lim()=lim()=xxxxxxfxfxxfxx无穷间断点无穷间断若或,则称为。特别地当时。点,也为0000(2)lim()lim()1limsin0xxxxxfxfxxxx,都不存在,且不为,则称为非无穷第二类间断点。例如不存在,但也不为,所以是非无穷第二类间断点第二类间断点0()xfx第那么称为函数的二类间断点;28无穷型间断点其它间断点第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷29解:举例例8求下列各函数的间断点,并指明间断点的类型。22101123210sinxxxfxfxxxxx211113+2=0121212111112122121limlimlimxxxxxxxfxxxxxfxxxxfxxxxx由解得或因为初等函数在和处没有定义,所以和是的间断点。是第一类间断点;3022222001324620141220011000limlimlimlimlimsinxxxxxxxfxxfxxxfxffxxfxxfx倒数法故是第二
本文标题:函数的连续性
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