2019年全国中考数学真题分类汇编24：相似、位似及其应用

相似、位似及其应用一、选择题1．（2019·苏州）如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点．且AD=AB=2，AD⊥AB，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点F．若DE=1，则△ABC的面积为（）A．42B．4C．25D．8【答案】B【解析】∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠C，∴△CED∽△CAB，∵DE＝1，AB＝2，即DE∶AB＝1∶2，∴S△DEC∶S△ACB＝1∶4，∴S四边形ABDE∶S△ACB＝3∶4，∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE122×2122×1＝2+1＝3，∴S△ACB＝4，故选B．2.（2019·杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)连接AM交DE干点N，则（）A.ADANANAEB.BDMNMNCEC.DNNEBMMCD.DNNEMCBM【答案】CNEABCDM【解析】根据DE∥BC，可得△ADN∽△ABM与△ANE∽△AMC，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴DNANBMAM，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴NEANMCAM，∴DNNEBMMC．故选C．3．（2019·常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26【答案】D【解析】∵图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，∴最小的三角形与△ABC的相似比为142，∵△ADE∽△ABC，∴ADEABCSS＝2DEBC，∵DEBC＝4×142＝442，∴ADEABCSS＝1642＝821，∴S△ADE＝821×42＝16，∴四边形DBCE的面积＝S△ABC－S△ADE＝26，故选项D正确．4．（2019·陇南）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选：B．5.(2019·枣庄)如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D等于A.2B.3C.4D.32【答案】B【解析】由平移可得,△ABC∽△A'MN,设相似比为k,∵S△ABC＝16,S△A'MN＝9,∴k2＝16:9,∴k＝4:3,因为AD和A'D分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D＝k＝4:3,∵AD＝AA'+A'D,∴AA':A'D＝1:3,∵AA'＝1,则A'D＝3,故选B.6.（2019·淄博）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）BACDA.2aB.52aC.3aD.72a【答案】C.【解析】在△BAC和△ADC中，∵∠C是公共角，∠CAD＝∠B.，∴△BAC∽△ADC，∴2BCAC,∴2ABDA=()4CCSBCSAC，又∵△ADC的面积为a，∴△ABC的面积为4a，∴△ABD的面积为3a.7.(2019·巴中)如图，ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使DE:AD＝1:3,连接EF交DC于点G,则S△DEG:S△CFG＝()A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9【答案】D【解析】因为DE:AD＝1:3,F为BC中点,所以DE:CF＝2:3,ABCD中,DE∥CF,所以△DEG∽△CFG,相似比为2:3,所以S△DEG:S△CFG＝4:9.故选D.8.（2019·乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）A．61B．31C．51D．41【答案】A12第8题图第8题答图【解析】∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴AD=DC=1，CE=2，AD∥CE，∴△ADH∽△ECF，∴ADDHCECH，∴121DHDH，解得DH=13，∴阴影部分面积为12×13×1=16，故选A.9.（2019·乐山）如图，在边长为3的菱形ABCD中，30B，过点A作BCAE于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G.则CG等于（）A．13B．1C．21D．23第9题图【答案】A【解析】∵BCAE，∴∠AEB=90°，菱形ABCD的边长为3，30B，∴AE=12AB=123，BE=CF=22ABAE=1.5，BF=3，CF=BF-BC=3-3，∵AD∥CF，∴△AGD∽△FGC，∴DGADCGCF，∴3333CGCG，解得CG=31，故选A.10.（2019·凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接A0并延长交BC于E，则BE∶EC=（▲）A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶3GFEDABC【答案】B【解析】过点D作DF∥AE，则1ODBOEFBE,21CDADFCEF，∴BE∶EF∶FC=1∶1∶2，∴BE∶EC=1∶3.故选B.11.（2019·眉山）如图，在菱形ABCD中已知AB=4，∠ABC=60°，∠EAF=60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF，②∠EAB=∠CEF；③△ABE∽△EFC，④若∠BAE=15°，则点F到BC的距离为232，则其中正确结论的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF，故①正确；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB，故②正确；在△ABE中，∠AEB＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=12AB=2，AG=3BG=23，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=23，∴EB=EG-BG=23-2，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°在△AEB和△AFC中，EABFACABACABEACF120＝＝＝＝，∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=23-2，在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=23-2，∴FH=CF•sin60°=（23-2）•32=3-3.∴点F到BC的距离为3-3.故④错误.故选B.12.（2019·重庆B卷）下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9【答案】Ｂ【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81.故选Ｂ．二、填空题13．（2019·滨州）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________________________．【答案】（－1，2）或（1，－2）【解析】点A的对应点C的坐标是（－2×12，4×12）或（－2×（－12），4×（－12）），即（－1，2）或（1，－2）．14.（2019·滨州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】在YABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在YABCD中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位线，∴OE∥BC，∴OE⊥AC，故①正确；∵OE是△ACB的中位线，∴OE=12BC，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OF：BF=OE：BC=1：2，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误；在Rt△ABC中，∵AB=2BC，∴AC=3BC，∴OC=32BC．在Rt△BCO中，OB=72BC，∴BD=7BC，∴AC：BD=3BC：7BC=21：7，故③正确；∵OF：BF=1：2，∴BF=2OF，OB=3OF，∵OD=OB，∴DF=4OF，∴BF2=（2OF）2=4OF2，OF·DF=OF·4OF=4OF2，∴BF2=OF·DF，故④正确．15.（2019·凉山）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是▲.【答案】4：25或9∶25【解析】在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE∶DE=2∶3时，AE∶AD=2∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答图2，当AE∶DE=3∶2时，AE∶AD=3∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.（第16题图答图1）（第16题图答图2）16.（2019·衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则OBOA的值为____________.（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7“字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推，……摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1……则顶点F2019的坐标为____________.【答案】（1）12（2）（606255，4055）【解析】（1）因为∠DBC+∠BDC=90°，∠DBC+∠OBA=90°,∠DCB=∠BOA=90°,所以∠BDC=∠OBA，所以△CDB∽HNM△OBA，所以OB:OA=CD:CB=12.（2）因为OB:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得OB=55,OA=255.因为∠CDH=∠ABO，∠DHC=∠BOA=90°,CD=AB,所以△DHC≌△BOA,所以四边形OACH为矩形，DH=55,HC=255,同理△MAF∽△OBA，由AF=3得，AM=355，FM=655,在直角三角形NCF中，CN=AM=355,CF=2,NF=22CFCN=55,在直角三角形ABC中，AC=5,F点的坐标为（255+355，5+55）;根据规律F1比F的横坐标增加355单位、纵坐标增加655，F，F1点的坐标为（255+355×2，5+55×2）;F2比F1的横坐标增加355单位，纵坐标增加655单位