数列知识点归纳及习题总结

第1页共20页等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点定义nnnnnnaaaadaa1121Nn通项dnaan)1(1—等差中项a、b、c成等差2cab基本概念推广dmnaamn)(前n项和ndnnanaaSn)1(212)(121等差数列当d0(0)时{}na为递增（减）数列当d=0时}{na为常数基本性质与首末两端等距离的项之和均相等1121......ininnaacaaaaNiqpnmaaaaqpnm}{na中共knnn.......21成等差则nknnaaa......,,21也成等差第2页共20页定义:nnnnnnaaaaqaa1121Nn通项11nnqaa等比中项：abc成等比数列acb2基本概念推广mnmnqaa前n项和nS)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnann等比数列与首末两端等距离的两项之积相等1121......ininnaaaaaaqpnmaaaaqpnm}{na成等比，若knnn,...,21成等差则nknaaa,...,21成等比基本性质当101qa或1001qa时{}na为递增数列当101qa或1001qa时{}na为递减数列当q0时{}na为摆动数列当q=1时{}na为常数数列二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括（一）．一般数列数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{an}的通项公式an；数列的前n项和公式Sn；一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：)2()1(111nSSnSaannn第3页共20页（二）等差数列1．等差数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。即：成等比数列}{)0,0,2(1nnnnaqandaa2．等差数列的判定方法（1）定义法：对于数列na，若daann1(常数)，则数列na是等差数列。（2）等差中项法：对于数列na，若212nnnaaa，则数列na是等差数列。3．等差数列的通项公式如果等差数列na的首项是1a，公差是d，则等差数列的通项为dnaan)1(1。[说明]：该公式整理后是关于n的一次函数。4．等差数列的前n项和（1）．2)(1nnaanS（2.）dnnnaSn2)1(1[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。5．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：2baA或baA2[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。6．等差数列的性质（1）．等差数列任意两项间的关系：如果na是等差数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公差为d，则有dmnaamn)(（2）.对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa。也就是：23121nnnaaaaaa，如图所示：nnaanaannaaaaaa112,,,,,,12321（3）．若数列na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321（4）．设数列na是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前n项的和，则有如下性质：①奇数项daaa2,,,531成等差数列，公差为②偶数项daaa2,,,642成等差数列，公差为③)1()1(2121121nanaaSnnn奇项，则若有奇数项第4页共20页nanaaSnn1222偶所以有中偶奇中偶奇aaSSannaSSnn11)12()12(nn1SS偶奇；12SSSSSSSnn偶奇偶奇偶奇nnannaaSn22121奇项，则若有偶数项1222nnannaaS偶所以有ndaaaaaaSSnn1223412奇偶（5）．若等差数列na的前12n项的和为12nS，等差数列nb的前12n项的和为'12nS，则'1212nnnnSSba。（三）．等比数列1．等比数列的概念[定义]：成等比数列}{)0,0,2(1nnnnaqanqaa[等比中项]如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么GbaG，即abG2。2．等比数列的判定方法（1）定义法：对于数列na，若)0(1qqaann，则数列na是等比数列。（2）等比中项：对于数列na，若212nnnaaa)0(na，则数列na是等比数列。3.等比数列的通项公式如果等比数列na的首项是1a，公比是q，则等比数列的通项为11nnqaa。4.等比数列的前n项和)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn5.等比数列的性质（1）等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比为q，则有mnmnqaa（2）.对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa也就是：23121nnnaaaaaa。如图所示：nnaanaannaaaaaa112,,,,,,12321（3）若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成第5页共20页等比数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321三、数列的通项求法1.等差，等比数列的通项；2.)2(,)1(,11nSSnaaSnnnn3.迭加累加，迭乘累乘)2(),(1nnfaann若，)(1ngaann若)2(12faa则，)2(12gaa则)3(23faa，)3(23gaa………，………，)(1nfaann，)(1ngaann)()3()2(1nfffaan，)()2(1nggaan注：呢？若)(),(11ngaanfaannnn4.数列间的关系(1)成等比数列成等差数列nanbaBnAnSBAnaannn2成等差数列(2)成等比数列成等比数列knnaa成等差数列成等比数列nbanaanlog0（3）递推数列]①能根据递推公式写出数列的前n项②由nnnnSaaSf,,0),(求解题思路：利用)2(,)1(,11nSSnaannn变化（ⅰ）已知0),(11nnaSf（ⅱ）已知0),(1nnnSSSf③若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11kbakkbann(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；四、数列的求和方法（详细讲解见六）1.等差与等比数列求和公式第6页共20页2.裂项相消法：)11(1))((1CAnBAnBCCAnBAnan如：an=1/n(n+1)3.错位相减法：nnncba,成等比数列成等差数列，nncbnnnnncbcbcbcbS1122111121nnnnncbcbcbqS则所以有13211)()1(nnnncbdccccbSq如：an=(2n-1)2n4.倒序相加法：如已知函数1()()42xfxxR求：12()()()mmSfffmmm。5.通项分解法：nnncba如：an=2n+3n五、其它方面1、在等差数列na中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当01a,d0时，满足001mmaa的项数m使得取最大值.(2)当01a,d0时，满足001mmaa的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。2、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d3、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)4、求数列{an}的最大、最小项的方法：①an+1-an=……000如an=-2n2+29n-3②1111nnaa(an0)如an=nnn10)1(9③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=1562nn六、专题讲座一《数列求和题的基本思路和常用方法》一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11第7页共20页2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)]1(21[nnkSnkn[例1]已知数列,nnnaax，（x≠0），ns数列的前n项和，求ns。解：当x=1时，nsn当x≠1时，na为等比数列，公比为x由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）＝xxxn1)1(【巩固练习】1：已知数列na的通项公式为314nan，ns为na的前n项和，（1）求ns；（2）求na的前20项和。解：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例2]求和：132)12(7531nnxnxxxS………（0x）当x=1时，23121315171(21)1135(21)nnSnnn当x≠1时，132)12(7531nnxnxxxS……………….①第8页共20页①
两边同乘以x得nxS231135(23)(21)nnxxxnxnx…②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn【巩固练习】2：求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………………………………①12nS231242(1)22222nnnn……………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(