2017年-全国三卷文科数学试卷解析

1全国三卷文科数学试卷解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】集合A与B的交集为两者共有的元素所构成，即为集合4,2，所以，该集合的元素个数为2个。【点评】集合的交集运算，属于基础题型，唯一的变化在于常规问题一般要求出交集即可，该题需要先求出集合，再计算元素个数。2.复平面内表示复数z=i(−2+i)的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】iiiiiZ212)2(2，所以该复数位于第三象限。【点评】考点为复数的乘法运算与复数的象限表示，属于基础题型。3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由图易知月接待客量是随月份的变化而波动的，有上升也有下降，所以A答案错误，故选A.【点评】与2016年的雷达图考法类似，近年来，对各类图形与图表的理解与表示成为高考的一个热点，总体来说，此类题型属于基础类题型，用排除法解此类问题会比较快，但要注意题目要求选择错误的一项，如果审题不仔细可能会造成失分！24.已知sin𝛼−cos𝛼=43，则sin2𝛼=A.−79B.−29C.29D.79【答案】A【解析】9791612sin9162sin1cos.sin21)cos(sin2，【点评】考点为三角函数的恒等变换，有一定难度，关键在于对正弦二倍角公式的运用。失分的原因在于解题的思路是否清晰以及计算错误。5.设x,y满足约束条件{3𝑥+2𝑦−6≤0，𝑥≥0，𝑦≥0，则z=x−y的取值范围是A.[−3，0]B.[−3，2]C.[0，2]D.[0，3]【答案】B【解析】画图，求出三条线的交点分别为A（0,0），B（0,3）与C（2,0），由图形可知三条线围城的是一个封闭的图形，所以，可以采用代点的方法求解。即202;330000CBAZZZ，,所以，选B。【点评】本题属于基本的线性规划类问题，一般文科生用带点法求解会比较简单。6.函数𝑓(𝑥)=15sin(𝑥+𝜋3)+cos(𝑥−𝜋6)的最大值为A.65B.1C.35D.15【答案】A【解析】Axxxxxxf所以选),3sin(56)3sin()3sin(51)26sin()3sin(51)(【点评】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！7.函数y=1+𝑥+sin𝑥𝑥2的部分图像大致为ABCD【答案】D【解析】令非奇非偶又因为所以排除则有)(,,,21sin11)1(,1xfCAfx，排除B，选D3【点评】函数的解析式与图形表示问题是高考的一个必考点，此类问题大多围绕函数的性质来考查，只要方法正确，一般不太会出错。解题时一般用特例+排除法可以快速求解。8.执行右边的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A.5B.4C.3D.2【答案】D【解析】第一次循环，S=0+100，M=-10，t=2；第二次循环，S=90，M=1，t=3tDNN不符合，所以，选符合，32【点评】程序框图问题，中低难度，两次循环即可出结果，关键在于对于第一次循环中t的值与条件的判定，易错点在于学生会忽略第一次循环中t的变量必须满足条件！9.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A.πB.3𝜋4C.𝜋2D.𝜋4【答案】B【解析】有圆柱的外接球半径公式可知，4343,21(1)2(2222222hrVrrrhR，所以圆柱的体积解得）即【点评】球类问题是近几年高考的一个热点，也是难点。解此类问题，关键在于根据几何体选择对应的公式套用即可快速求得结果。10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC【答案】C【解析】11111111111111111,,BCEACDBAEACDBABCBBACBBABCCBBC平面又平面，且【点评】本题属于线面关系定理的实际应用问题，有一定难度，需要学生有较强的空间想象能力和公式定理的实际应用能力，问题的重点与难点在于找到与包含EA1的平面垂直的直线！411.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（𝑎b0）的左、右顶点分别为𝐴1,𝐴2,且以线段𝐴1𝐴2为直径的圆与直线b𝑥−𝑎𝑦+2𝑎b=0相切，则C的离心率为A．√63B.√33C.√23D.13【答案】A【解析】因为直线与圆相切，即2,3,1.3,22222222cabbaabaabd则有令整理得36,32222eace，选A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点到线的距离公式，以及圆锥曲线的离心率公式和圆的方程，考查的知识点比较多，但总的难度不大，属于跨板块的综合类问题，基础中偏上的学生一般都能搞定。12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥+𝑎(𝑒𝑥−1+𝑒−𝑥+1)有唯一零点，则𝑎=A．−12B.13C.12D.1【答案】C【解析】(对称性解法)因为𝑓(𝑥)关于直线𝑥=1对称，所以𝑓(𝑥)要有唯一零点，只有𝑓(1)=0，由此解得𝑎=12.【点评】难度中偏上，主要考查函数的性质与函数的零点结论，本题的难点在于对函数的对称性不够了解，一般学生很难看出后面函数的对称性，导致做题缺乏思路。本题与16年的高考全国卷2文数的选择压轴题（第12题）类似，都是围绕函数的性质来考查，需要学生有较强的基本功底并具有较强的运用能力。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量𝑎⃑=(−2,3)，向量𝑏⃑⃑=(3,𝑚)，且𝑎⃑⊥𝑏⃑⃑，则m=______.【答案】2【解析】因为𝑎⃗⊥𝑏⃑⃗，所以𝑎⃗∙𝑏⃑⃗=0，即−6+3𝑚=0，解得𝑚=2.【点评】考查向量的坐标运算，属于基础题型，公式套用即可，没有难度。14.双曲线𝑥2𝑎2−𝑦29=1(𝑎0)的一条渐近线方程为xy53，则a=_______.【答案】5【解析】渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥，由题可知𝑏=3,𝑎=5.【点评】本题着重于考查双曲线的基本知识点，考查双曲线的方程及其渐近线的公式，难度偏低。15.∆𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=600，b=√6，c=3，则A=_____.【答案】75°5【解析】由正弦定理有3sin60°=√6sin𝐵，所以sin𝐵=√22，又𝑐𝑏，所以𝐵=45°，所以𝐴=180°−(𝐵+𝐶)=75°.【点评】考查用正余弦定理解三角形问题以及三角形的内角和定理，难度偏低。16.设函数)(xf{𝑥+1,𝑥≤0,2𝑥,𝑥0,则满足𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−12)1的𝑥的取值范围是____.【答案】𝑥−14【解析】①𝑥≤0时，𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−12)=𝑥+1+𝑥−12+11，得𝑥−14；②0𝑥≤12时，𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−12)=2𝑥+𝑥−12+11恒成立；③𝑥12时，𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−12)=2𝑥+2𝑥−121恒成立综上所述，𝑥−14【点评】考查分段函数的图像与性质，中偏高难度，分段函数主要考查分类讨论的数学思想，对学生的逻辑思维有较高的要求，容易出现不知道如何分类以及分类不严谨的错误。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.（本大题共12分）设数列{𝑎𝑛}满足𝑎1+3𝑎2+⋯+(2𝑛−1)𝑎𝑛=2𝑛.（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）求数列{𝑎𝑛2𝑛+1}的前𝑛项和.【答案】（1）𝑎𝑛=22𝑛−1(n∈𝑁∗)；（2）122nn【解析】⑴令𝑏𝑛=(2n−1)𝑎𝑛，则有𝑏1+𝑏2+···+𝑏𝑛=2𝑛，即𝑆𝑏𝑛=2𝑛当n=1时，𝑏1=2×1=2.当n≥2时，𝑆𝑏𝑛=2n①𝑆𝑏𝑛−1=2(n−1)②①-②得𝑏𝑛=2𝑛−2(𝑛−1)=2即𝑏𝑛=(2𝑛−1)𝑎𝑛=2得到𝑎𝑛=22𝑛−1(n∈𝑁∗)⑵令𝑐𝑛=𝑎𝑛2𝑛+1=22𝑛−12𝑛+1=2(2𝑛−1)(2𝑛+1)=2(1(2𝑛+1)−(2𝑛−1))(12𝑛−1−12𝑛+1)=12𝑛−1−12𝑛+1(n∈𝑁∗)∴𝑆𝑐𝑛=𝑐1+𝑐2+𝑐3+⋯+𝑐𝑛−1+𝑐𝑛=1−13+13−15+15−17+⋯+12𝑛−3−12𝑛−1+12𝑛−1−12𝑛+16=1−12𝑛+1=2𝑛+1−12𝑛+1=2𝑛2𝑛+1(n∈𝑁∗)【点评】本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解。第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法。18.（本大题共12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为𝑌（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出𝑌的所有可能值，并估计𝑌大于零的概率.【答案】，Y的所有可能取值为900,300和-100，54【解析】(1)设“六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶”为事件A，由题意可知，53905447253616236162)(AP;(2)由题意可知，当最高气温不低于25时，900450)46(Y，概率524725361624725P;当最高气温位于区间[20,25)时，300)300450)24(300)46(（Y，概率5247253616236P;当最高气温低于20时，100)200450)24(200)46(（Y，概率51472536162162P;综上，Y的所有可能取值为900,300和-100，5452520PY的概率【点评】本题题型与2012年全国卷以及2013年全国卷2的题型基本相似，属于函数与概率结合类问题，有一定难度。易错点在于“不超过”容易遗漏取等的情况，程度差一点的学生对于分段函数的理解会存在一定问题。19.（本大题共1