椭圆离心率求法总结

..椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=｜PF｜｜PD｜②e=｜QF｜｜BF｜③e=｜AO｜｜BO｜④e=｜AF｜｜BA｜⑤e=｜FO｜｜AO｜评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=a2c∴有③。题目1：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=3cc+3c=2a∴e=ca=3-1变形1：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正DBFOBBBAPQBAF2F1..三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=3-1变形2:椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜=b2a｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴｜PF1｜｜F2F1｜=ba又∵b=a2-c2∴a2=5c2e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22BAF2F1PO..解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=-1+52e=-1-52(舍去)变形：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，e=-1+52,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。题目3：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?解：设｜BF1｜=m则｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：a2–c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c)两式相除：2a-c2a+c=12e=23题目4：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：｜F1F2｜sinF1PF2=｜F1P｜sinF1F2P=｜PF2｜sinPF1F2根据和比性质：｜F1F2｜sinF1PF2=｜F1P｜+｜PF2｜sinF1F2P+sinPF1F2FBAO..变形得：｜F1F2｜｜PF2｜+｜F1P｜=sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F2==2c2a=e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e=sin90°sin75°+sin15°=63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F2变形1：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe=sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F2=sin60°sinα+sin(120°-α)=12sin(α+30°)≥12∴12≤e1变形2：已知椭圆x24+y24t2=1(t0)F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β若13tanα2tanβ212,求e的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解;根据上题结论e=sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F2=sin(α+β)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα+β22sinα+β2cosα-β2=cosα2cosβ2-sinα2sinβ2cosα2cosβ2+sinα2sinβ2=1-tanα2tanβ21-tanα2tanβ2=e∵131-e1+e12∴13e12三、以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式.题目5：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，→OA+→OB与→a=(3,-1)共线，求..e?法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=2a2ca2+b2y1+y2=2a2ca2+b2-2c=-2b2ca2+b2→OA+→OB=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=63法二：设AB的中点N，则2→ON=→OA+→OBx12a2+y12b2=1①x22a2+y22b2=1②①-②得：y1-y2x1-x2=-b2a2x1+x2y1+y2∴1=-b2a2(-3)既a2=3b2e=63四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，满足→MF1·→MF2=0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？B(X2,Y2)A(X1,Y1)O..分析：∵→MF1·→MF2=0∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：∴cba2=b2+c22c2∴0e22题目7：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(a2c,y0)M(a2c-c2,y02)既(b22c,y02)则→PF1=-(a2c+c,y0)→MF2=-(b22c-c,y02)→PF1·→MF2=0F2MF1OMPF2F1O..(a2c+c,y0)·(b22c-c,y02)=0(a2c+c)·(b22c-c)+y022=0a2-3c2≤0∴33≤e1解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c｜PF2｜≥a2c-c则2c≥a2c-c3c≥a2c3c2≥a2则33≤e1设椭圆xaybab222210（）的左、右焦点分别为FF12、，如果椭圆上存在点P，使FPF1290，求离心率e的取值范围。解法1：利用曲线范围设P（x，y），又知FcFc1200（，），（，），则FPxcyFPxcyFPFFPFPFPFPxcxcyxyc1212121222229000()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得xacababFPFxaacababa2222222122222222229000但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）cbcaccaecaecae2222222221221[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224..又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此FPFPFPFFFcPFPFacPFPFuauac12122212221222122229042220||||||||||()||||()4801222222222aacecae()因此，e[)221解法3：利用三角函数有界性记PFFPFF1221，，由正弦定理有||sin||sin||sin||||sinsin||||||||sinsinsincoscosPFPFFFPFPFFFPFPFaFFceca121212121212902211222122又，，则有而知从而可得09002452221221||||cose解法4：利用焦半径由焦半径公式得||||||||||PFaexPFaexPFPFFFacxexacxexcaexcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即..022212222caeae得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF||||平方后得42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc||||||||(||||)||得ca2212所以有，）e[221解法6：巧用图形的几何特性由FPF1290，知点P在以||FFc122为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有cbcbac2222离心率的五种求法椭圆的离心率10e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ace来解决。例1：已知双曲线1222yax（0a）的一条准线与抛物线xy62的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.23B.23C.26D.332解：抛物线xy62的准线是23x，即双曲线的右准线23122cccax，则02322cc，解得2c，3a，332ace，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为0,11F、0,32F，则其离心率为（）A.43B.32C.21D.41解：由0,11F、0,32F知132c，∴1c，又∵椭圆过原点，∴1ca，3ca，∴2a，1c，所以离心率21ace.故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）..A.23B.26C.23D2解：由题设2a，62c，则3c，23ace，因此选C变式练习3：点P（-3，1）在椭圆12222byax（0ba）的左准线上，过点P且方向为5,2a的光线，经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A33B31C22D21解：由题意知，入射光线为3251xy，关于2y的反射光线（对称关系）为0525yx，则05532cca解得3a，1c，则33ace，故选A1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于322.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为223.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3