不等式高考复习(7)全面版

考纲要求考情分析了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.从考查内容看，用数学归纳法证明与正整数有关的命题是考查的重点，其中以数列为载体的“归纳—猜想—证明”是考查的热点．2.从考查形式看，以解答题为主，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，属中高档题.一、数学归纳法的定义由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：(1)验证当n＝n0(n0∈N*)时命题成立(递推的基础)；(2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立(递推的根据)；(3)根据(1)(2)可知，当_____________________________时命题都成立，这种证明方法叫数学归纳法．n＝k＋1n取从n0开始的所有正整数1．在归纳奠基中，第一个值n0是否一定为1呢？提示：不一定．要看题目中n的要求．如在证明多边形的内角和定理f(n)＝(n－2)·180°中，第一个值n0应该为3.二、数学归纳法的证明步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证n取第一个值时命题成立；(2)在假设当时命题成立的前提下，推出n＝_________时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．n0n＝k(k≥n0)k＋12．数学归纳法两个步骤有何关系？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推，两者缺一不可．应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法．解析：边数最小的凸多边形是三角形．答案：C1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．02．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a，a≠1，在验证n＝1时，等式左端所得的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：当n＝1时，an＋1＝a2.∴验证n＝1时，等式左端计算所得的项是1＋a＋a2.答案：C3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)中，则从k到k＋1时，等式左边所要添加的项是()A.12k＋1B．12k＋2－12k＋4C.12k＋1－12k＋2D．－12k＋2解析：注意到左边共有2n项，则从k到k＋1时，左边所要添加的项是12k＋1－1－12k＋1＝12k＋1－12k＋2，故选C.答案：C4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜2(n∈N，且n＞1)时，第一步要证的不等式是________．解析：n＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2.答案：1＋12＋13＜25．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形．答案：π或180°【考向探寻】1．对数学归纳法原理理解的考查．2．验证初始值，左、右代数式问题．3．由k到k＋1的变化问题．对数学归纳法的理解【典例剖析】(1)如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，若P(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是A．P(n)对所有正整数n都成立B．P(n)对所有正偶数n都成立C．P(n)对所有正奇数n都成立D．P(n)对所有自然数n都成立(2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上A．k2＋1B．(k＋1)2C.k＋14＋k＋122D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2题号分析(1)由数学归纳法中的递推关系可得结论．(2)列出n＝k，n＝k＋1时的两个式子比较即可.解析：(1)由题意n＝k时成立，则n＝k＋2时也成立，又n＝2时成立，则P(n)对所有正偶数都成立．答案：B(2)当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…k2＋k2＋1＋…＋k＋122k＋1个，增加了2k＋1项．答案：D(1)在数学归纳法的第二个步骤中，要注意观察递推的形式，以便准确地得到相应的一般性的结论．(2)判断由n＝k到n＝k＋1时式子的变化情况时，要利用两式的结构特点来判别增加的项的规律，这是数学归纳法证题的难点．【活学活用】1．(1)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1时左边需要增乘的代数式为________．解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)k＋k＋1k＋k＋2k＋1＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)[2(2k＋1)]，∴从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为2(2k＋1)．答案：2(2k＋1)(2)用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，第一步验证的等式中左边是______，右边是________．解析：令n＝1，则左边＝1－12＝12，右边＝12.答案：1212【考向探寻】1．证明等式问题．2．证明不等式问题．用数学归纳法证明等式、不等式【典例剖析】对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝nn＋1n＋26.(1)第一步验证n＝1时等式成立，(2)第二步假设n＝k(k∈N*)时等式成立，证明n＝k＋1时等式成立．解：设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，∴等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝16k(k＋1)(k＋2)．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2·[(k＋1)－1]＋3·[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝16k(k＋1)(k＋2)＋12(k＋1)(k＋1＋1)＝16(k＋1)(k＋2)(k＋3)．∴当n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，当n∈N*时等式成立．(1)第一步验证n＝2时不等式成立，(2)第二步假设n＝k(k∈N*，k1)时不等式成立，证明n＝k＋1时不等式成立．已知a0，b0，n1，n∈N*，用数学归纳法证明an＋bn2≥a＋b2n.解：①当n＝2时，左边－右边＝a2＋b22－a＋b22＝a－b22≥0，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，k1)时，不等式成立，即ak＋bk2≥a＋b2k.因为a0，b0，k1，k∈N*，所以(ak＋1＋bk＋1)－(akb＋abk)＝(a－b)·(ak－bk)≥0，于是(ak＋1＋bk＋1)≥akb＋abk.当n＝k＋1时，a＋b2k＋1＝a＋b2k·a＋b2≤ak＋bk2·a＋b2＝ak＋1＋bk＋1＋akb＋abk4≤ak＋1＋bk＋1＋ak＋1＋bk＋14＝ak＋1＋bk＋12，即当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对于a0，b0，n1，n∈N*，不等式an＋bn2≥a＋b2n成立．(1)用数学归纳法证题时，在第二步中寻找由k到k＋1的变化规律是难点，突破难点的关键是掌握由k到k＋1的推证方法．在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k＋1)的差异及联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，若从P(k＋1)中分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡，切实掌握“观察—归纳—猜想—证明”这一特殊到一般的推理方法．(2)证明不等式时，在由n＝k时不等式成立，推导n＝k＋1时不等式也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用．如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题等．【活学活用】2．(1)已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1；当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14.答案：D(2)用数学归纳法证明1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＞910(n＞1，且n∈N)．证明：①当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝1920＞910＝右边，不等式成立．②假设n＝k(k∈N，k≥2)时不等式成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＞910成立．则当n＝k＋1时，1k＋2＋1k＋3＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1＞910＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1＞910＋13k＋3＋13k＋3＋13k＋3－1k＋1＝910.当n＝k＋1时不等式也成立．综合①，②，对一切大于1的自然数n，不等式都成立.【考向探寻】利用数学归纳法证明数列中的等式、不等式等问题．数学归纳法证明数列问题【典例剖析】(2012·全国高考)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)求证：2≤xn＜xn＋1＜3；(2)求数列{xn}的通项公式．解答本题可按以下步骤进行：(1)求出直线PQ方程与x轴交点横坐标，利用数学归纳法证明不等式；(2)确定xn＋1与xn的关系，构造等比数列求xn.解：(1)利用数学归纳法证明．①当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为y－5＝f2－52－4(x－4)，令y＝0，解得x2＝114，所以2≤x1＜x2＜3.②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即2≤xk＜xk＋1＜3.直线PQk＋1的方程为y－5＝fxk＋1－5xk＋1－4(x－4)，令y＝0，解得xk＋2＝3＋4xk＋12＋xk＋1.由归纳假设知xk＋2＝3＋4xk＋12＋xk＋1＝4－52＋xk＋14－52＋3＝3；xk＋2－xk＋1＝3－xk＋11＋xk＋12＋xk＋10，即xk＋1xk＋2.所以2≤xk＋1＜xk＋2＜3，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤xn＜xn＋1＜3.(2)由(1)及题意得xn＋1＝3＋4xn2＋xn.设bn＝xn－3，则1bn＋1＝5bn＋1，∴1bn＋1＋14＝51bn＋14，∴数列1bn＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．∴1bn＋14＝－34·5n－1，∴bn＝－43·5n－1＋1，∴数列{xn}的通项公式为xn＝3－43·5n－1＋1.数学归纳法在数列中的应用是高考的常见题型，解决类似问题时，发现利用数学归纳法解题是关键．因此要熟练掌握数学归纳法可解决的问题的类型及数学归纳法证题的思路与要求．【活学活用】3．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝32.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a