不等式高考复习(5)全面版

考纲要求考情分析1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.从考查内容看，类比推理、演绎推理是考查的重点，其中归纳推理与数列结合的问题是考查的热点．2.从考查形式看，三种题型都可能出现，常以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题的形式考查演绎推理，题目多属中低档题.1．推理根据一个或几个已知事实(或假设)来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为与两类．合情推理演绎推理2．合情推理定义归纳推理由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由概括出的推理类比推理由两类对象具有____________和其中一类对象的推出另一类对象也具有这些特征的推理部分对象全部个别事实一般结论类似特征某些已知特征特点一般步骤归纳推理由到、由到的推理(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)类比推理由到的推理(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)部分整体个别一般特殊特殊3.演绎推理(1)定义：从出发，推出下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由的推理；(3)模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：一般性的原理某个特殊情况一般到特殊“三段论”的结构①大前提——已知的___________②小前提——所研究的特殊情况③结论——根据一般原理，对做出的判断“三段论”的表示①大前提——_______②小前提——______③结论——S是P一般原理特殊情况M是PS是M1．合情推理与演绎推理的主要区别是什么？提示：合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由个别到一般、类比推理是由特殊到特殊的推理，得到的结论不一定正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，在大前提和小前提都正确的情况下，得到的结论一定是正确的．2．演绎推理所获得的结论就一定可靠吗？提示：只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的．1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27解析：由数列的特点知5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，x－20＝12，故x＝32.答案：B2．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：由类比推理的特点可知C正确．答案：C3．(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．5答案：D解析：分别判断y＝x和y＝cos2x的零点．y＝x在[0,2π]上的零点为x＝0，y＝cos2x在[0,2π]上的零点为x＝π4，3π4，5π4，7π4，所以f(x)在区间[0,2π]上的零点个数为5.4．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中得出的一般性结论是________________．解析：由条件可归纳得出一般性结论为n＋(n＋1)＋…＋[n＋(2n－2)]＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋…＋[n＋(2n－2)]＝(2n－1)25．在平面几何中，关于正三角形的性质，有真命题：正三角形内任一点到各边的距离之和是一个定值，类比平面几何的上述性质．写出正四面体的一个真命题：_____________________________________________________________________.答案：正四面体内任一点到各个面的距离之和是一个定值【考向探寻】1．由部分到整体、由个别到一般归纳出一般性命题．2．利用归纳推理得到一般结论，进而解决实际问题．归纳推理【典例剖析】(1)(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝A．28B．76C．123D．199(2)已知函数f(x)＝x21＋x2，①分别求f(2)＋f12，f(3)＋f13，f(4)＋f14的值；②归纳猜想一般性结论，并给出证明；③求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＋f12＋f13＋…＋f12014.(1)观察所给式子，归纳规律，猜想结论．(2)观察归纳可得结论f(x)＋f1x＝1，然后利用该结论解题．(1)解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C(2)解：①f(2)＋f12＝221＋22＋1221＋122＝45＋15＝1；f(3)＋f13＝321＋32＋1321＋132＝910＋110＝1；f(4)＋f14＝421＋42＋1421＋142＝1617＋117＝1.②由①可猜想f(x)＋f1x＝1(x∈R)．证明如下f(x)＋f1x＝x21＋x2＋1x21＋1x2＝x21＋x2＋11＋x2＝1.③f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(2014)＋f12＋f13＋…＋f12014＝f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2014)＋f12014＝12＋2013×1＝40272.归纳的实质是根据前几项，猜想出一般规律．归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，归纳推理是一种发现一般性规律的重要方法．1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础之上的．【活学活用】1．(1)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2014(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：由题意可得f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx＝f1(x)，f6(x)＝(cosx)′＝－sinx＝f2(x)，…fn＋4(x)＝…＝…＝fn(x)．故可猜测fn(x)是以4为周期的函数，则f2014(x)＝f4×503＋2(x)＝f2(x)＝－sinx.答案：B(2)已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17210，7.5＋12.5210，8＋2＋12－2210.根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，n均为正实数，则当m＋n＝20时，有m＋n≤210.答案：m＋n≤210(m＋n＝20，m、n均为正实数)【考向探寻】1．从特殊到特殊进行类比推理．2．利用类比推理得到的结论解决问题．类比推理【典例剖析】(1)(2013·晋中模拟)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”，类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b0⇒ab”，类比推出“若a，b∈C，则a－b0⇒ab”；④“若x∈R，则|x|1⇒－1x1”，类比推出“若z∈C，则|z|1⇒－1z1”．其中类比正确的为A．①②B．①④C．①②③D．②③④(2)(12分)(2013·佛山模拟)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(ⅰ)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(ⅱ)由(ⅰ)＋(ⅱ)得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ(ⅲ)令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入(ⅲ)得sinA＋sinB＝2sinA＋B2cosA－B2.①类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA－cosB＝－2sinA＋B2sinA－B2；②若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A－cos2B＝1－cos2C，试判断△ABC的形状．(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)题号分析(1)将复数运算与实数运算类比，注意反例的应用．(2)①类比所给方法，利用两角和(差)的余弦公式证明，②利用二倍角公式转化所给条件，结合所给条件判断.(1)①、②易知正确；对于③，“若a，b∈C，则a－b0⇒ab”是错误的．如a＝2＋i，b＝1＋i，则a－b＝10，但2＋i1＋i不正确；对于④，“若z∈C，则|z|1⇒－1z1”是错误的，如y＝12＋12i，|y|＝221，但－112＋12i1是不成立的．故选A.答案：A(2)①因为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(ⅰ)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，(ⅱ)………………2分(ⅰ)－(ⅱ)得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.(ⅲ)……………………………………………………………3分令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝A＋B2，β＝A－B2，代入(ⅲ)得cosA－cosB＝－2sinA＋B2sinA－B2.………6分②∵cos2A－cos2B＝1－cos2C可化为∴1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C，………………9分∴sin2A＋sin2C＝sin2B.10分设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.………………………………11分∵△ABC为直角三角形.…………………………………12分(1)类比推理是根据两个对象有部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法．(2)在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想、而后加以证明的．类比推理得到的结论不一定正确，其正确性有待进一步证明．【活学活用】2．观察下表的第一列，填空：等差数列{an}中正项等比数列{bn}中a3＋a4＝a2＋a5b3·b4＝b2·b5an＝a1＋(n－1)dbn＝b1·qn－1前n项和Sn＝na1＋an2前n项积Tn＝________.答案：(b1bn)n2【考向探寻】1．用演绎推理证明一个命题是真命题．2．判断演绎推理运用的正确性．演绎推理【典例剖析】(1)下面几种推理过程是演绎推理的是A．两条直线平行，同旁内角互补