立体几何二面角

1、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，(I)当λ=时,求证AB1丄平面A1BD;(II)当二面角A—A1D—B的大小为-时,求实数λ的值.2、3、如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．4、如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．(2)求三棱锥A－EBC的体积．5、在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，CD⊥BD，异面直线PA，CD所成角等于60°（1）求证：面PCD⊥面PBD；（2）求直线PC和平面PAD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点E使得二面角A﹣BE﹣D的余弦值为？6、已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．7、在四棱锥中，，，平面平面，，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.8、如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点.(Ⅰ)证明：B1C1⊥CE；(Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值；9、在如图所示的四棱锥中，已知平面∥为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的余弦值.11、如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面（1）证明：；（2）若，求二面角余弦值．12、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．（I）求证：平面PAB丄平面PCD；（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．13、如图，在四棱柱中，底面，，，且，点E在棱AB上，平面与棱相交于点F.（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥的体积的最大值.二、选择题三、14、正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°15、已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α16、下列说法正确的是（）A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M三、填空题17、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上四个命题中，正确命题的序号是．18、设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）若l与α内的两条直线垂直，则直线l与α垂直．上面命题中，其中错误的个数是．19、已知l、m、n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：①若l∥m，n⊥m，则n⊥l；②若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m；③若l∥⊂α，则l∥α④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，其中真命题是．（填序号）20、设a，b为两条直线，α，β为两个平面，给出下列命题：（1）若a∥b，a⊥α，则b⊥α；（2）若a∥α，b∥α，则a∥b；（3）若a⊥b，b⊥α，则a∥α；（4）若a⊥α，a⊥β，则α∥β．其中正确命题的个数是．21、如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．四、综合题22、如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：面．五、计算题23、如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点。（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小。参考答案一、简答题1、解：（Ⅰ）取的中点为，连结在正三棱柱中面面，为正三角形，所以，故平面．以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，――2分则，，，，．所以，，，因为，所以，又，所以平面．―――－6分（Ⅱ）由⑴得，所以，，，设平面的法向量，平面的法向量，由得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量，由，解得，为所求．――――12分2、3、解：（Ⅰ）如图，过点作于，连接.平面平面，平面平面平面于平面又平面，四边形为平行四边形.平面，平面平面………5分（Ⅱ）连接由（Ⅰ），得为中点，又，为等边三角形，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，设平面的法向量为.由得令，得.设平面的法向量为.由得令，得.故二面角的余弦值是.………………………10分4、(1)取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝，AE＝，EF＝；cos∠AEF＝＝，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.……………8分(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA＝1，VA－EBC＝VE－ABC＝×(×2×2×)×1＝.…………12分5、【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）分别以BA，BC，BP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由CD⊥PD，得C（0，4，0），异面直线PA和CD所成角等于60°，得P（0，0，2）．求出平面PCD的法向量和平面PBD的法向量，由此能证明面PCD⊥面PBD．（2）求出=（0，4，﹣2）和平面PAD的法向量，由此能求出直线PC和平面PAD所成角的正弦值．（3）设=m+（1﹣m）=m（2，0，0）+（1﹣m）（0，0，2）=（2m，0，2﹣2m），0＜m＜1，求出平面ABE的法向量和平面DBE的法向量，由已知条件利用向量法能求出E（，0，）．【解答】（1）证明：分别以BA，BC，BP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），D（2，2，0），设P（0，0，p），p＞0，C（0，c，0），=（2，2﹣c，0），=（2，2，﹣p），∵CD⊥PD，∴•=（2，2﹣c，0）•（2，2，﹣p）=4+2（2﹣c）=0，解得c=4，∴C（0，4，0）．=（2，0，﹣p），∵异面直线PA和CD所成角等于60°，∴=（2，0，﹣p）•（2，﹣2，0）=4=，由p＞0，解得p=2，∴P（0，0，2）．∴=（0，4，﹣2），=（2，2，﹣2），=（0，0，﹣2），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（1，1，2），设平面PBD的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），∵=1﹣1+0=0，∴面PCD⊥面PBD．（2）解：∵=（0，4，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，0），设平面PAD的法向量=（u，v，t），则，取u=1，得=（1，0，1），设直线PC和平面PAD所成角为θ，sinθ=|cos＜＞|===，∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为．（3）解：设=m+（1﹣m）=m（2，0，0）+（1﹣m）（0，0，2）=（2m，0，2﹣2m），0＜m＜1，平面ABE的法向量=（0，1，0），，设平面DBE的法向量=（x1，y1，z1），则，取z=m，得=（m﹣1，1﹣m，m），设二面角A﹣BE﹣D的平面角为α，∵二面角A﹣BE﹣D的余弦值为，∴cosα===，整理得3m2﹣8m+4=0，由0＜m＜1，解得m=，∴E（，0，）．【点评】本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线面角、面面垂直、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．6、【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC与PB所成的角的余弦值，（2）设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC与平面ACM所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），B（0，2，0），M（0，1，），所以=（1，1，0），=（0，2，﹣1），||=，||=，=2，cos（，）==，（2）=（1，﹣1，0），=（1，1，0），=（0，1，），设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，则，即，令x=1，则y=﹣1，z=2，所以=（1，﹣1，2），则cos＜，＞===，设直线BC与平面ACM所成的角为α，则sinα=sin[﹣＜，＞]=cos＜，＞=．【点评】本小题考查空间中的异面直线所成的角、线面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．7、解：（Ⅰ）证明：作于，CE与AD必相交，又平面平面，平面PAB，又，平面.…………………5分（Ⅱ）（方法一：综合法）连AC，由已知得AC=2，，从而，又，平面，从而平面PCD平面PAC作于，于，连，设则所求的二面角为，，，所以.（法二：向量法（略））8、方法一：如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0).…………………………………………………………………………………3分(1)证明易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.………………………………………………………………5分(2)解＝(1，－2，－1).设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1).…………………………………………………………8分由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量.……………………………………………………………………10分于是cos〈m，〉＝＝＝－，……………………11分从而sin〈m，〉＝，所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.………12分方法二(1)证明因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，从而B1E2＝B1C＋EC，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，……………………2分又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.……………………5分(2)解过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.由(1)知，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角.……………………………………………………………………………………9分在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin∠B1GC1＝，即二面角B1－CE－C1的正弦值为.…………………………………………12分9、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理求证出四边形MEBC为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）先证明线面垂直，再到面面垂直；（Ⅲ）找到∠ECF为直线E