圆锥曲线分类讲义——弦中点问题

弦中点问题例1、已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程．【分析一】：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k．解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk．由韦达定理得22212122kkkxx．∵P是弦中点，∴121xx．故得21k．所以所求直线方程为0342yx．【分析二】：设弦两端坐标为11yx，、22yx，，列关于1x、2x、1y、2y的方程组，从而求斜率：2121xxyy．解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，，则由题意得④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，，，①－②得0222212221yyxx．⑤将③、④代入⑤得212121xxyy，即直线的斜率为21．所求直线方程为0342yx．【说明】：有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．【变式1】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为63，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线:2lykx与椭圆C交与,AB两点，点(0,1)P，且PAPB，求直线l的方程.【变式2】已知椭圆C：22221(0)xyabab的长轴长为23，离心率63e.（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C与直线ykxm相交于不同的两点MN、，点(0,1)D，当||||DMDN时，求实数m的取值范围.【变式3】已知椭圆的中心在原点O，离心率32e，短轴的一个端点为(0,2)，点M为直线12yx与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l交椭圆于,AB两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【变式4】已知椭圆2222:1xyCab(0)ab经过点3(1,),2M其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段,OAOB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求O到直线距离的l最小值.垂直问题【例1】已知椭圆22221(0)xyabab的长轴长为4，且点3(1,)2在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于,AB两点，若以AB为直径的圆过原点，求直线l方程【变式1】已知长方形1,22,BCABABCD，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点)2,0(P的直线l交(Ⅰ)中椭圆于NM,两点,判断是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点，并说明理由.【综合】已知椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点分别为1F、2F，短轴两个端点为A、B，且四边形12FAFB是边长为2的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连结CM，交椭圆于点P.证明：OMOP×为定值；（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线,DPMQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.面积问题【例】已知椭圆)0(12222babyax的离心率为36，长轴长为32，直线mkxyl:交椭圆于不同的两点A、B。（1）求椭圆的方程；（2）求kOBOAm求且,0,1的值（O点为坐标原点）；（3）若坐标原点O到直线l的距离为23，求AOB面积的最大值。【变式】已知椭圆的中点在原点O，焦点在x轴上，点)0,32(A是其左顶点，点C在椭圆上且.||||,0COACCOAC（I）求椭圆的方程；（II）若平行于CO的直线l和椭圆交于M，N两个不同点，求CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程.斜率问题【例1】若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点与左右焦点1F、2F组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点2F作直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M,求直线1MF的斜率k的取值范围.练习1.已知椭圆C:)0(12222babyax的左焦点为F（-1，0），离心率为22，过点F的直线l与椭圆C交于BA、两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（II）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.2．已知椭圆:C12222byax)0(ba过(0,3)点，离心率12e.（1）求椭圆C的方程；设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于(1,0)F，交y轴于点M.若||2||MQQFuuuruuur，求直线l的斜率。