菱形证明专题训练

实用标准文案文档大全绝密★启用前乐学教育菱形证明专题训练1.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD为菱形.【答案】∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.∵DF∥BE,∴∠BEF=∠DFE,∴∠AEB=∠CFD.又∵AE=CF,∴△AEB≌∠CFD,∴AB=CD.∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AC平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAF.又∠BAE=∠DCF,∴∠DAF=∠DCF,∴AD=CD,∴四边形ABCD是菱形.2.如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC.求证:(1)四边形EBFD是菱形;【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，∴B,D,O三点共线且BD=DO=CO=AO.在矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，∴∠FCO=∠EAO.在△CFO和△AEO中，∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO.又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形.∵BO=CO，∠COB=60°，∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°.第2页共19页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°.∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°.∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.(2)MB∶OE=3∶2.【答案】∵BO=BC，∴点B在线段OC的垂直平分线上.∵FO=FC，∴点F在线段OC的垂直平分线上.∴BF是线段OC的垂直平分线.∴∠FMO=∠OMB=90°.∴∠OBM=30°.∴OF=BF.∵∠FOC=30°，∴FM=OF.∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:四边形BGFD是菱形.【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形.∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,∴平行四边形BGFD是菱形.4.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证:OE=BC.【答案】∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,实用标准文案文档大全∴AC⊥BD,OB=OD,∴∠BOC=∠COD=90°,∴四边形OCED是矩形,∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°,∴BC=,OE=,∵DE=OC.∴OE=BC.5.[2015·兰州中考,25](9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.(1)求证:AD=BC;【答案】作BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD=∠BMD.1分∵AB∥CD,BM∥AC,∴四边形ABMC为平行四边形.2分∴AC=BM.∵BD=AC,∴BM=BD.∴∠BDM=∠BMD.∴∠BDC=∠ACD.在△BDC和△ACD中,∴△BDC≌△ACD.4分∴BC=AD.5分(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接EG,GF,FH,HE.6分∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD.同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.8分∴四边形EGFH为菱形,∴EF与GH互相垂直平分.9分第4页共19页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................6.[2015·长春中考,18](7分)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G,求证:四边形ACGF是菱形.【答案】因为AF∥CD,FG∥AC,所以四边形ACGF是平行四边形①,又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC,所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,由①②得四边形ACGF是菱形.7.[2010·上海中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.(1)在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；【答案】∵∠BAE＝∠DAE，∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，AB＝BE＝AD，AD∥BE，∴四边形ABED的平行四边形，又AB＝AD，∴四边形ABED为菱形(2)∠ABC＝60°，EC＝2BE，求证：ED⊥DC.【答案】过D作DF∥AE，则DF＝CF＝1，∴∠C＝30°，而∠DEC＝60°，∴∠EDC＝90°，∴ED⊥DC.实用标准文案文档大全8.[2010·沈阳中考，19]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形.【答案】∵点E，F分别为AB，AD的中点∴AE＝AB，AF＝AD(2分)又∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD∴AE＝AF(4分)又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O∴O为BD的中点∴OE，OF是△ABD的中位线(6分)∴OE∥AD，OF∥AB∴四边形AEOF是平行四边形(8分)第6页共19页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................∵AE＝AF∴四边形AEOF是菱形(10分)9.[2010·安徽中考，20]如图，AD∥FE，点B,C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.(1)求证：四边形BCEF是菱形；【答案】∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.∴BF＝EF∵BF＝BC，∴BC＝EF.∴四边形BCEF是平行四边形∵BF＝BC，∴四边形BCEF是菱形(5分)(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.【答案】∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE，∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，∴AF＝BE，FC＝ED.(8分)又∵AC＝2BC＝BD，(9分)∴△ACF≌△BDE.(10分)10.[2013·长沙中考，24]如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O.(1)求证：△ABN≌△CDM；【答案】∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD，BN＝BC＝AD＝DM，实用标准文案文档大全∴△ABN≌△CDM(SAS).(2)过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长.【答案】∵M，O分别为AD，ND的中点，∴AN∥MO且AN＝2MO，∴∠MOD＝∠AND＝90°，即平行四边形CDMN是菱形，在Rt△MOD与Rt△NEC中，∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC，∴MO＝NE.根据菱形的性质可知，∠MND＝∠CND，∠1＝∠CND，所以∠MND＝∠CND＝∠2＝30°，所以在Rt△ENP中NE＝PE÷tan30°＝，即AN＝2.11.如图,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于点H,∠B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF⊥BC于点F,求证:四边形AEFD是菱形.【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.又∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴△ABE≌△FBE.∴∠BAE=∠BFE.又∠BAE=90°-∠ABC=∠C,∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.∴四边形AEFD是平行四边形.又AD=DF,∴四边形AEFD是菱形.12.[2012·南宁中考,25]如图,已知矩形纸片ABCD,AD＝2,AB＝4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.图1图2第8页共19页※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；【答案】证法一：证明：在矩形ABCD中,CD∥AB∴∠1＝∠3(1分)由折叠可知：AG＝EG,∠1＝∠2∴∠2＝∠3∴EF＝EG(2分)∴EF＝AG∴四边形AGEF是菱形(3分)证法二：证明：连接AF,由折叠可知OA＝OE,AG＝EG(1分)在矩形ABCD中,AB∥CD∴∠AEF＝∠EAG∵∠AOG＝∠EOF∴△AOG≌△EOF(ASA)(2分)∴AG＝EF∴四边形AGEF是菱形(3分)(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证,点N是线段BC的中点；【答案】证明：连接ON,O是Rt△ADE外接圆圆心.∵⊙O与BC相切于点N∴ON⊥BC(4分)在矩形ABCD中,DC⊥BC,AB⊥BC∴CD∥ON∥AB∴＝(5分)∵OA＝OE∴CN＝NB即N为BC的中点(6分)实用标准文案文档大全(3)如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.【答案】解法一：过点O作OM⊥AB于点M,则四边形OMBN是矩形设⊙O半径为x,则OA＝OE＝ON＝x(7分)∵AB＝4,AD＝2∴AM