双曲线知识点总结及练习题

一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（21212FFaPFPF（a为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F1F2|。当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l（准线2ca）的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（222acb，其中|1F2F|=2c）焦点在x轴上：12222byax（a＞0，b＞0）焦点在y轴上：12222bxay（a＞0，b＞0）（1）如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上。a不一定大于b。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax（3）双曲线方程也可设为：221(0)xymnmn三、双曲线的性质双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa，yRya，xR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2(,0)Fc1(0,)Fc2(0,)Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFcxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyPxyP1F2FxyP顶点坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率eace(1)，222cab，e越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为caa2顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为22abccc焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2渐近线方程xaby(实虚)，2,bca和2,bcayabx(实虚)将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）直线和双曲线的位置双曲线12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长2212121()4ABkxxxx通径：2212bAByya与椭圆一样过双曲线上一点的切线12020byyaxx或利用导数00221yyxxab或利用导数四、双曲线的参数方程：sectanxayb椭圆为cossinxayb五、弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，则22122212122122212122=1+k1+k411+k11+4kABxxxxxxyyyyyyk为直线斜率[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长abAB22||。3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦半径公式双曲线12222byax（a＞0，b＞0）上有一动点00(,)Mxy左焦半径：r=│ex+a│右焦半径：r=│ex-a│当00(,)Mxy在左支上时10||MFexa,20||MFexa当00(,)Mxy在右支上时10||MFexa,20||MFexa左支上绝对值加-号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221注：焦半径公式是关于0x的一次函数，具有单调性，当00(,)Mxy在左支端点时1||MFca，2||MFca，当00(,)Mxy在左支端点时1||MFca，2||MFca七、等轴双曲线12222byax（a＞0，b＞0）当ab时称双曲线为等轴双曲线1。ab；▲yxM'MF1F2▲yxM'MF1F22。离心率2e；3。两渐近线互相垂直，分别为y=x；4。等轴双曲线的方程22yx，0；八、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab代值验证，如221xy点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab上220022-=1xyab2、直线与双曲线代数法：设直线:lykxm，双曲线)0,0(12222babyax联立解得02)(222222222bamamkxaxkab（1）0m时，bbkaa，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；bka，bka，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m时，k存在时，若0222kab，abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相交若2220bak，222222222(2)4()()amkbakamab2222224()abmbak0时，22220mbak，直线与双曲线相交于两点；0时，22220mbak，直线与双曲线相离，没有交点；0时22220mbak，2222mbka直线与双曲线有一个交点；相切k不存在，ama时，直线与双曲线没有交点；mama或直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)xyabab渐近线方程：22220xyabxaby2、若双曲线方程为▲yxM'MF1F2▲yxM'MF1F2（a＞0，b＞0）渐近线方程：22220yxabayxb3、若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax,0。4、若双曲线与12222byax有公共渐近线，则双曲线的方程可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab。2、过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab。3、双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc。椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K时得到不同的曲线。椭圆参照选修2-1P41，双曲线参照选修2-1P55。1、A、B两点在X轴上时2、A、B两点在Y轴上时十三、面积公式双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形，122cot2PFFSb面积公式推导：解：在12PFF中，设12FPF，11PFr，22PFr，由余弦定理得222121212cos2PFPFFFPFPF2221212(2)2rrcrrF1xyOPF222121212()242rrrrcrr221212(2)242arrcrr2212122()rrcarr212122rrbrr∴21212cos2rrrrb即21221cosbrr，∴12212112sinsin221cosPFFbSrr2sin1cosb=2cot2b．椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,FF构成的三角形12PFF称之为椭圆焦点三角形．122tan2PFFSb面积公式推导解：在12PFF中，设12FPF，11PFr，22PFr，由余弦定理得222121212cos2PFPFFFPFPF2221212(2)2rrcrr22121212()242rrrrcrr221212(2)242arrcrr2212124()22acrrrr212122brrrr∴21212cos2rrbrr即21221cosbrr，∴12212112sinsin221cosPFFbSrr2sin1cosb=2tan2b．十四、(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)Mxy为双曲线22221xyab弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有22ABOMbkka图1F1xyOPF2证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab两式相减得：22221212220xxyyab整理得：2221222212yybxxa，即2121221212()()()()yyyybxxxxa，因为00(,)Mxy是弦AB的中点，所以0012001222OMyyyykxxxx，所以22ABOMbkka椭圆中线弦斜率公式22ABOMbkka双曲线基础题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．422．设集合P＝x，yx24－y2＝1，Q＝{(x，y)|x－2y＋1＝0}，记A＝P∩Q，则集合A中元素的个数是()A．3B．1C．2D．43．双曲线x216－y29＝1的焦点到渐近线的距离为()A．2B．3C．4D．54．双曲线y27－x29＝1的共轭双曲线的离心率是________．能力提升5．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.6B.5C.62D.526．设双曲线x2a2－y29＝1(a0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．17．从x2m－y2n＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()A.12B.47C.23D.348．双曲线y26－x23＝1的渐近线与圆(x