数理方程与特殊函数杨春

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1本次课主要内容(一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性狄氏问题格林函数(二)、三维空间中狄氏问题格林函数(三)、平面中的三个格林公式10.500.51n2定理1(唯一性定理)拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的。120()0SSvvuu(一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性证明：设u1与u2是定解问题0,(,,)(,,)SSuxyzVuxyz的两个解。令v=u1-u2,则：由调和函数性质知：在VS上：1212()0SSVVvuuuu10.500.51n31110,(,,)SSuxyzVuf定理2(稳定性定理)拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。证明：设在边界S上给出两个函数f1与f2,且：12ff拉氏方程的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2，即：2220,(,,)SSuxyzVuf令：那么：12vuu120,(,,)SSvxyzVvff由调和函数极值原理，v在VS上的极值只能在S上取得，所以10.500.51n421uu即证明了稳定性。定理3拉氏方程的牛曼问题的解，若不管任意常数的差别，是唯一的。证明：设u1与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：Snuu110Snuu220令：12vuu10.500.51n5则：00Svvn由第一格林公式：SVVuvdSuvdVuvdV取21uuvu222121212()()()()()()uuuuuuuvxyz10.500.51n6由条件：0SSvuvdSudSn0Svn0]))(())(())([(221221221dVzuuyuuxuuV所以：10.500.51n7121212()()()0uuuuuuxyz12vuuc于是得到：定理4拉氏方程的牛曼问题的解，对边界条件不稳定。证明：设f1与f2是拉氏方程对应的两个不同的边界条件，又设u1与u2是对应于两个边界条件的解。由定理3，两个解相差一个常数，因此，无论边界条件相差如何小，10.500.51n8解的相差可能不会任意小，即解不稳定。(二)、三维空间中狄氏问题格林函数1、狄氏问题格林函数的引出泊松方程狄氏问题为：(,,),(,,)(,,),(xxyyzzSSuuuufxyzxyzVuxyz连续）(1)、解的积分表达式设u(x,y,z)为定解问题的解，令v(x,y,z)为VS上调和函数。10.500.51n9由第二格林公式：由定解问题得：由第三格林公式，如下定解问题SVuvvudSvuuvdVnnVvudV(,,)*SVuvvudSvfxyzdVnn10.500.51n10的解为：(),(),()SSSufMMVuuMvMn011111()44SVuMvdSfdVrnrr结合*可得如下等式：011111()44SVSVuMvdSfdVrnrruvvudSvfdVnn10.500.51n111114414SVuvvuvudSrnrnnvfdVr1114414SVuuvvuudSrnnnrnvfdVr114414SVuvuvdSrnnrvfdVr10.500.51n12000(,)(,)(,)**SVGMMuGMMudSGMMfdVnn其中：001(,)(,,)4MMGMMvxyzr容易验证：00(,)()GMMMM如果令G(M,M0)满足：则可得泊松方程狄氏解定理0(,)0SGMM10.500.51n13定理：泊松方程狄氏解为：其中G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SSGMMMMMMVGMM推论：拉氏方程狄氏解为：000(,)()(,)SVGMMuMdSGMMfdVn00(,)()SGMMuMdSn定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式。10.500.51n14定义：若G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SSGMMMMMMVGMM则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。(1)、方程ΔG(M,M0)=-δ(M-M0)的解物理意义是：空间M0点处有一电量为ε(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势，其大小为G(M,M0)=1/4πr；(2)、狄氏格林函数的定义与性质狄氏格林函数的物理意义rMM0ε10.500.51n15(2)、狄氏格林函数定解问题的解的物理意义为：接地导电壳内M0处有正点电荷ε，该电荷与它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势叠加为定解问题的解，其大小为G(M,M0)=1/4πr+v(x,y,z)。根据狄氏格林函数定解问题的解的物理意义，要求出格林函数，只需要求出感应电荷产生的电势v(x,y,z)即可！rMM0ε下次课里我们将根据其物理意义，采用物理方法----电像法来求格林函数。10.500.51n16性质1：狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。当M→M0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相同。狄氏格林函数的性质性质2：在边界上格林函数恒等于零。性质3：在区域V内，有：0010(,)4MMGMMr10.500.51n17证明：由格林函数定义：其中：001(,)()4MMGMMvMr0()0,14SSvMMMVvr由于在边界S上有：v0，所以，由极值原理，在整个VS上v0。所以：00011(,)()44MMMMGMMvMrr下面证明：0(,)0GMM10.500.51n18一方面：以M0为心在V中作球Vε,球面设为Sε0(,)0()14SSSSSGMMMVVGGv则：M0MSVxyz00lim(,)SSGMM10.500.51n19由极值原理：0(,)0GMM另一方面，容易知道：对任意的ε0,在VS-Vε中的点M，函数G(M,M0)不能为零。所以，我们有：0(,)0GMM至此，证明了：0010(,)4MMGMMr10.500.51n20性质4Green函数具有对称性(物理上称为互易性)，即);();(1221MMGMMG证明：(课后自学)如图所示，以M1,M2为球心，ε为半径作球K1与K2，其边界分别记为S1,S2。··S1S2M1M2S令：U=G(M,M1),V=G(M,M2),在VS-K1-K2上利用格林第二公式得：12SSSVVUUVdSUVVUdVnn10.500.51n21注意到，在VS-K1-K2上,U与V是调和函数，且在S上有U|S=V|S=0，于是有：(1)对于：120*SSVUUVdSnn1SVUUVdSnn11SSVUUdSVdSnn10.500.51n22而：1121(,)(,)SSVGMMUdSGMMdSnn1121(,)()4MMSGMMvMdSrn111221(,)(,)()4MMSSGMMGMMdSvMdSrnn所以：10lim0SVUdSn10.500.51n23而对于所以：1SUVdSn112(,)(,)SGMMGMMdSn1121(,)()4MMSGMMvMdSnr111221(,)(,)()4MMSSGMMdSGMMvMdSnrn1120lim(,)SUVdSGMMn10.500.51n24所以：1120lim(,)SVUUVdSGMMnn(2)对于2SVUUVdSnn22SSVUUdSVdSnn10.500.51n25而：所以：20lim0SUVdSn2210lim(,)SVUUVdSGMMnn由*得：1221(,)(,)0GMMGMM即得：);();(1221MMGMMG