第5章 控制系统的稳定性与快速

第5章控制系统的稳定性与快速性5.1稳定性和快速性的基本概念5.2Routh-Hurwitz判据5.3Nyquist稳定性判据5.4Bode图上的稳定性判据5.7稳定裕度5.1稳定性和快速性的基本概念稳定指控制系统在外作用力消失后能够自动恢复原有平衡状态或自动地趋向于另一个新的稳定平衡状态的能力。如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定。FFmabcde单摆系统稳定倒摆系统不稳定TheconceptofstabilityThebalanceofapendulumocFbaMoAnecessaryandsufficientconditionforafeedbacksystemtobestableisthatallthepolesofthesystemtransferfunctionhavenegativerealparts.(闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面)Thebalanceofasmallball设线性控制系统的闭环传递函数为闭环系统的特征方程为特征方程式的根就是系统闭环传递函数的极点。120121120121()mmmmmnnnnnbsbsbsbsbGsasasasasa1201210nnnnnasasasasa(0,1,2,)()(0,1,2,)ijainnmbjm不稳定区不稳定区临界稳定稳定区稳定区s平面j系统稳定，则闭环系统的极点全部分布在s平面的左半平面；系统不稳定，至少有一个极点分布在s平面的右半平面；系统临界稳定，在s平面上的右半平面无极点，至少有一个极点在虚轴上。5.2Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz（劳斯－胡尔维茨）判据亦称代数判据产生的根源：(1)求解特征方程式的根非常困难；(2)计算工作量相当大。(3)避免直接求解特征方程的根，(4)只讨论特征方程根的分布;(5)观测根的分布是否在s平面的左半平面。产生了一系列的稳定性判据。(1)最主要的一个判据是1884年由E.J.Routh（劳斯）提出的判据，称为Routh判据；(2)1895年，A.Hurwitz（胡尔维茨）提出了用特征方程系数来判别系统稳定性的方法，称之为Hurwitz判据。0)(122110nnnnnasasasasasA),3,2,1(nipiniipsasA10)()(5.2.1系统稳定的必要条件假设特征方程为的全部根为：则上式可以变为)()1()()()(3210124213210313121022101nnnnnnnnnppppaapppppppppaappppppaapppaa由多重根的韦达定理得：1）特征方程的各系数都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，则满足系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。要使特征方程的根都具有负实部必须满足下面两个条件),3,2,1(nipi),,2,1,0(niai2）特征方程的各项系数符号相同，才能满足式（5-4）。一般地a0为正，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即只是一个必要条件，有时满足上述条件，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。(0,1,2,,)0iain(0,1,2,,)0iain5.2Routh-Hurwitz判据一.系统稳定的必要条件假设特征方程为根据代数理论中韦达定理所指出的方程根和系数的关系可知，为使系统特征方程的根都为负实部，其必要条件：特征方程的各项系数均为正。含义：1各项系数符号相同（即同号）2各项系数均不等于0（即不缺项）1201210nnnnnasasasasa二.控制系统稳定的充分必要条件0246811357923132333434142434422,12,211,10,1nnnnnnnnsaaaaasaaaaasaaaasaaaasaasasaRouth阵列1201210nnnnnasasasasa特征方程全部为负实部根的充分必要条件是Routh表中第一列各值为正，如Routh表第一列中只要出现一个小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各数符号的改变次数，代表特征方程式的正实部根的数目。例5-1判别特征方程为0516178102345sssss的某系统稳定性。解利用Routh判据502441353313224142151o61sa=1a=8a=16sa=10a=17a=5sa=6.3a=15.5sa=-7.6a=5sa=19.6sa=5符号改变两次，则说明系统有两个正实部的特征根，故系统不稳定。a=[110817165]a=•110817165roots(a)ans=-9.3181•0.1791+1.2930i•0.1791-1.2930i•-0.5200+0.2108i•-0.5200-0.2108i三.Routh判据的特殊情况1.Routh表中某行的第一个元素为零，而其余各元素均不为零或部分不为零。这时用一个很小的正数来代替零元素，Routh表继续进行。2.如果Routh表中出现全零行，表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得导数方程的系数代替全零行，便可按Routh稳定判据的要求继续运算下去，直到得出全部Routh计算表。辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同、符号相反的根数。所有这些数值相同、符号相反的根，都可以从辅助方程中求出。014222345sssss12111210142121610511424123231353144205asasaasaasaaasaaas例5-5已知某控制系统的特征方程为判断系统的稳定性。解列出Routh表上述Routh表中，第三行左边第一个元素为零，用△代替0继续计算Routh表。从Routh表可得，第一列元素符号有两次变化，由正变负，再由负变正，所以系统在s平面上有两个正实部的特征根，显然系统不稳定。a=[122411]a=122411tf(a,1)Transferfunction:s^5+2s^4+2s^3+4s^2+s+1roots(a)ans=-1.95710.0686+1.2736i0.0686-1.2736i-0.0901+0.5532i-0.0901-0.5532i04473223456ssssss00043143147213456ssss043)(24sssA064d)(d3ssssA（辅助方程A（s）=0系数）例5-7设某控制系统的特征方程为用Routh判据确定系统正实部根的个数。解列出Routh表辅助方程为对辅助变量s求导得654321012741341344601.5416.704sssssss（dA（s）/ds=0的系数）用上述导数方程的系数代替Routh表的零行，然后继续进行Routh判据。043)(24sssA2)3j1(从Routh表可得，第一列元素符号只改变一次，因此系统只有一个正实部的特征根。因为在Routh表中有一行系数全为零，则说明有纯虚根，可由辅助方程求得:解得：2，j。实际上，特征方程的另一对特征根为通过上面的例题可以看出，利用Routh判据不仅可以确定正实部根的个数，而且还可以通过解辅助方程求出数值相同符号相异的特征根。•a=[11-2-3-7-4-4]•a=•11-2-3-7-4-4•tf(a,1)•Transferfunction:•s^6+s^5-2s^4-3s^3-7s^2-4s-4•roots(a)•ans=•2.0000•-2.0000•-0.0000+1.0000i•-0.0000-1.0000i•-0.5000+0.8660i•-0.5000-0.8660iExampleProblemDeterminethestabilityoftheclosed-looptransferfunctionSolutionTheRouth’stableisTheRouth’stablehastwosignchangeinthefirstcolumn.Thusthisclosed-loopsystemisunstablesincetwopolesexistintherighthalf-plane10303110100023ssssG0010300072010301003110123ssss5.3Nyquist稳定性判据若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1,j0)，则系统稳定。如果Nyquist曲线包围临界点(-1,j0)，则系统不稳定。如果系统的Nyquist曲线经过(-1,j0)点，则系统处于临界稳定状态。ReIm(-1,j0)ReReIm(-1,j0)(-1,j0)ImIm(-1,j0)Re如果开环系统不稳定，有P个开环极点位于s右半平面，当从0变化时，开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数为N(反时针方向为正，顺时针方向为负)和开环传递函数在s右半平面上的极点个数P的关系为：M=P－2NM：闭环极点在s右半平面的个数如果M为零，闭环系统稳定，否则系统不稳定。如果开环传递函数包含积分环节，假设为型，则绘制开环幅相曲线后，频率再从开始，反时针补画个半径为无穷大的圆。40例1一个单位反馈系统，开环传递函数为试用Nyquist判据判定系统的稳定性。解系统的开环幅相曲线如图所示。从Nyquist曲线上看到，曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈，即N=-1，而开环传递函数在s右半平面的极点数P=0，因此闭环特征方程正实部根的个数故系统不稳定。ImRe(-1,j0)2()(1)KGssTs22MPN5.4Bode图上的稳定性判据(-1,j0)ReImAB(+)(-)C)-L)(-)(+)Bode图上的稳定性判据可定义为一个反馈控制系统,其闭环特征方程正实部根的个数为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相频曲线与-π线的正负穿越之差N=N+-N-来确定,即若Z=0，则闭环系统稳定，则闭环系统不稳定0ZZ为闭环特征方程正实部根的个数。2ZPN例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳定性判据,判断系统的稳定性。已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，1N1N0NNN02NPZ闭环系统稳定。已知P=1，在L(ω)≥0时相频曲线有一次从负到正穿越-π线2/1N02NPZ闭环系统稳定。已知P=2,在L(ω)≥0的范围内,2N1N112NNN02NPZ闭环系统稳定5.7稳定裕度根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚好满足稳定性条件是不够的，还必须留有余地。稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。它包括相位裕度和幅值裕度。1.幅值裕度Kg定义为Nyquist曲线与负实轴(-π)交点处的频率所对应的幅值的倒数，即ω=ωg称为交点频率。Kg含义：如果系统的开环传递函数增益增大到原来的Kg倍，则系统处于临界稳定状态。1()()gggKGjHj正相位裕度G(j)-1gK1正幅值裕度Im负相位裕度负幅值裕度ReG(j)-1gK1ReIm11稳定系统11gK(-1,j0)ReImIII00Kg相同但稳定程度不同的两条开环Nyquist曲线它们具有相同的幅值裕度，但系统I的稳定性不如系统II的稳定性。因此需要增加稳定性的性能指标，即相位裕度2.相位裕度定义为π