气体动理论

第十九章气体动理论一、基本要求1.了解气体分子热运动图像，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。2.初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。3.理解麦克斯韦速率分布律及速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，了解玻尔兹曼能量分布律。4.理解能量按自由度均分定理。5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程。二、重要概念和基本规律1.平衡态在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。2.理想气体状态方程在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式vRTpV或nkTp式中v为气体摩尔数，摩尔气体常量31.8RJ·mol1·K1玻尔兹曼常量231038.1kJ·K13.理想气体压强的微观公式tnnmp323124.温度及其微观统计意义温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上kTt235.能量均分定理在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2kT。以i表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为kTit26.速率分布函数NddNf)(麦克斯韦速率分布函数kTmekTmf2/2232)2(4)(7.三种速率最概然速率molmolpMRTMRTmkT41.122平均速率molmolMRTMRTmkT60.188方均根速率molmolMRTMRTmkT73.13328.玻尔兹曼分布律平衡态下某状态区间（粒子能量为）的粒子数正比于kTe/重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：kTmghenn/09.范德瓦尔斯方程采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol气体RTbVVapmm))((210.气体分子的平均自由程ndn2212111.输运过程内摩擦dSdzdudfz0)(，mn31热传导dSdtdzdTdQz0)(Vcmn31扩散dSdtdzdDdMz0)(，31D三、习题选解19-1.一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。它是否是一个平衡态？为什么？答：这不是一个热力学平衡态。平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。所谓的没有外界影响，指外界对系统既不做功又不传热。两端分别与冰水混和物和沸水接触的铜棒，在和沸水接触的一端，铜棒不断吸收热量，而在和冰水混合物接触的一端，铜棒不断的释放热量。铜棒和外界以传热的方式进行能量交换，因而它不是一个热力学平衡态。19-2.（1）水银气压计中混进了一个空气泡，因此它的读数比实际的气压要小一些。当精确的气压计的水银柱为0.768m时，它的水银柱只有0.748m高，此时管中水银面到管顶的距离为0.080m。试问此气压计的水银柱为0.734m高时，，实际的气压应是多少？（把空气看作理想气体，并设温度不变）（2）水银气压计中，从水银池表面到封闭管管顶的距离为Lmm，在标准气压计的读数为HmmHg和温度Cto1的情况下，有一个空气泡进入管中，因此水银柱的长减到h1mm。求这一气压计的气压修正量p的表达式，引入p后可对任何温度Cto的任何压强读数h作修正。解：（1）设第一状态气体的压强为1p，体积为1V；第二状态气泡的压强为2p，体积为2V，气压计截面积为S，如图所示1p=768-748=20mmHg1V=0.080S2V=[0.080+(0.748－0.734)]S由于温度不变，有2211VpVp，所以20]014.0080.0[080.0)(1212pVVpmmHg=17mmHg实际压强为17734pmmHg=1.00×105Pa（2）设气压计的截面积为S。当标准气压计的读数为H，温度为1T，气压计中气柱的体积为ShL)(1，其压强应是)(1hH；如果在温度T时，水银柱高度是h，则气泡的体积ShL)(，压强是p。据气体状态方程，有TShLpTShLhH)())((111所以111)())((ThLThLhHp测出的压强应为php19-3.如图所示，两个相同的容器装着氢气，以一光滑水平玻璃管相连，管中用一滴水银做活赛，当左边容器的温度为C00，而右边容器的温度为C020时，水银滴刚好在中央维持平衡。试问：（1）当右边容器的温度由C00升到C010时，水银是否会移动？怎样移动？（2）如果左边温度升到C010，而右边升到C030，水银滴是否会移动？（3）如果要使水银滴在温度变化时不移动，则左右两边容器的温度变化应遵从什么规律？解：（1）可假设水银柱不移动，这样左边容器从C0升到C10时，压强会增大，所以水银将向右侧移动。（2）同样假设水银滴不移动，左右两侧体积不变。以0p表示左右两侧未升温前的压强，1p表示升温后左侧压强，2p表示升温后右侧压强，则0127310273pp022027330273pp可以看出21pp水银滴左侧的压强大于右侧的压强，水银滴将向右侧移动。（3）依条件27301pTp左29320273002ppTp右由21pp293273右左TT19-4.（1）推导压强公式时，为什么不考虑分子间的相互碰撞？（2）推导压强公式时，如果不假设每个分子与器壁的碰撞是弹性的，而把气体分子的动量改变分成两部分来看：一是向壁运动的分子动量的消失，二是离壁运动的分子动量的获得。按此观点，再按平衡态下大量分子的统计性质，如何说明压强公式仍然存在。答：（1）因为分子是全同的，分子碰撞后交换速度，不会改变速度的分布。（2）决定器壁压力的大小是大量分子单位时间内给予器壁法线方向的冲量，它等于分子沿器壁法线方向动量的变化率。在平衡状态下，当分子向器壁运动时，也有相等的大量分子离开器壁运动。按照统计规律，单位时间内向器壁上每单位面积运动的分子向前的动量总共消失6/2nm；单位时间内离开器壁每单位面积运动的分子向后的动量总共获得6/2nm。单位时间内与单位面积器壁作用引起分子动量的总变化为3/2nm，所以压强公式仍然成立。19-5.每秒钟有1.0×1023个氢分子（质量为3.3×10-27㎏）以1.0×103m·s-1的速度沿着与器壁法线成450角的方向撞在面积为2.0×10-4㎡的器壁上，求氢分子作用在器壁上的压强解：如图所示与器壁碰撞后，每一个分子的动量改变为045cos2m每秒总的动量改变为045cos2nm压强432723100.222100.1103.3100.1245cos2Anmp3103.2Pa19-6.（1）具有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对其进行加热，使它的温度27℃升到177℃，体积减小一半，求气体压强变化为多少？（2）此时气体分子的平均平动动能变化多少？分子的方均根速率变化多少？解：（1）由理想气体状态方程111222TVpTVp1221VV300272731TK4501772732TK有1112211233004502ppTTVVpp（2）由题意1123kT2223kT1112125.1300450TT温度为1T时，方均根速率为molMRT1123)(温度为2T时，方均根速率为molMRT2223)(所以22.15.1)()(121222TT19-7.（1）试计算在什么温度时氢分子的方均根速率等于从地球表面逃逸的速度。对氧分子作同样的计算。（2）试问在月球表面上，计算结果是否相同，假设月球表面的重力加速度为0.16g。（3）在地球的上层大气中，温度约为1000K左右。你认为该处是否有很多氢气？解：（1）第二宇宙速率2.112km·s13102.11m·s1。分子的方均根速率232HMRT。氢分子的摩尔质量31022HMkg。由题意22。423322100.1)102.11(31.83102322RMTHHK氧分子摩尔质量为310322OMkg有523322106.1)102.11(31.831032322RMTOOK（2）月球表面逃逸速率6221110738.11036.71067.622月月RGMm·s131038.2m·s1有2233105.4)1038.2(31.831022HTK2233102.7)1038.2(31.8310322OTK（3）地球大气层中，不会有很多氢气，会有较多氧气。19-8.道尔顿(Dalton’sLaw)定律指出，当不起化学作用的气体在一容器中混合时，在给定温度下每一成分气体所作用的压强和该气体单独充满整个容器时的压强相同；并且总压强等于各成分气体的分压强之和。试根据气体动理论并利用式（19-5）导出道尔顿定律。解：气体动理论给出的压强公式为nmnnmp32)21(323122设几种气体混合贮在同一容器中，单位体积内所含各种气体的分子数分别为,,21nn，则单位体积内混合气体的总分子数为21nnn又混合气体的温度相同，根据能量均分定理，不同成份的气体分子平均动能相等，即kT2321混合气体的压强为)(3221nnp22113232nn21pp其中kTnkTnnp1111233232kTnkTnnp2222233232······,,21pp即每一成分气体单独充满整个容器时的压强，并且总压强等于各成分气体的压强之和，这就是道耳顿分压定律。19-9.水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2O=H2+21O2，当不计振动自由度时，求此过程中内能增加的百分比。解：设初始水蒸气的分子总数为0N由H2OH2+21O2分解后将有0N个H2分子和20N个O2分子刚性双原子分子可用三个平动自由度(3t)，和两个转动自由度(2r)完整的描述其运动，刚性三原子分子则需要用三个平动自由度(3t)和三个转动自由度(3r)描述其运动。由能量均分原理知一个分子的平均能量为kTrt)(21温度为T时水蒸气的总能量为kTNkTNE0003)33(21若分解为氢气和氧气后，气体温度值为T，这时气体总能量为氢分子能量和氧分子能量之和，用E表示有kTNkTNkTNE000415)23(212)23(21能量增加的百分比为%25413341500000kTNkTNkTNEEE19-10.一个能量为1012eV的宇宙射线粒子，射入氖管中，氖管中0.01mol，如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变成热运动能量，氖气温度能升高几度。解：0.01mol氖气共有AN01.0个原子，其中AN为阿伏加德罗常数。氖为惰性气体，氖分子以单元子形式存在，若气体温度为T，每一个氖分子的平均能量为kT23。相应的总能量为kTNA2301.0，若射线能量被每个氖分子平均吸收。E=TkNA2301.06232319121028.11038.15.11002.601.0106.1102301.0kNETA19-11.一容器被中间隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K，另一半装有氧气，温度为310K。两者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。解：隔板未去掉前，容器两侧压强和体积相等设为p和V，再设氦分子摩尔数为1v，氧气分子摩尔数为2v，由理想气体方程有11RTvpV，222RTvpV11RTpVv，22RTpVv氦气为单原子分子，氧气为双原子分子，由能量均分定理，每一个分子的平均能量为kTsrt)2(21其中t为平动自由度，r为转动自由度，s为振动自由度对于氦气，有)0,0,3(trrkTHe23