解析几何(大题)

21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点2,0A，2,0B分别为椭圆2222:10xyCabab的左右顶点，,,PMN为椭圆C上非顶点的三点，直线,APBP的斜率分别为12,kk，且1214kk，APOM∥，BPON∥．（1）求椭圆C的方程；（2）判断OMN△的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）22:14xCy；（2）定值1．【解析】（1）221,11442,APBPbkkbaa，椭圆22:14xCy．（2）设直线MN的方程为ykxt，11,Mxy，22,Nxy，22222,4184401,4ykxtkxktxtxy，122841ktxxk，21224441txxk，1212121212121211404044yykkyyxxkxtkxtxxxx，22121241440kxxktxxt，2222222448414402414141tktkktttkkk，2222121212114MNkxxkxxxx222222284411422414141kttkkkkk，21tdk，222212214112ttkSkkt．∴OMN△的面积为定值1．20．（本小题满分12分）[2017平安一中]已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率是22，上顶点B是抛物线24xy的焦点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若P、Q是椭圆M上的两个动点，且OP⊥OQ（O是坐标原点），由点O作OR⊥PQ于R，试求点R的轨迹方程．【答案】（1）2212xy；（2）2223xy．【解析】（1）由题设知22222caba······①又1b······②所以椭圆M的标准方程为2212xy．（2）（i）若直线PQ∥x轴，设直线:PQym，并联立椭圆方程解出2(22)Pmm，，2(22)Qmm，，由OP⊥OQ得260320||||3OPOQmORm定值；（ii）若直线PQ不平行x轴，设直线:PQxtyn()tRnR，，联立椭圆M的方程消x得222(2)2(2)0tytnyn，设11()Pxy，，22()Qxy，，由韦达定理得12221222····22········ 2tnyytnyyt③④，由OP⊥OQ得0OPOQ，即12120xxyy，即1212()()0tyntynyy······⑤把③、④代入⑤并化简得22312nt，所以223n≥，又原点O到直线PQ的距离22||||6||3132nnORtn定值，所以动点R的轨迹是以点O为圆心，63为半径的圆，其方程为2223xy．20．（本小题满分12分）[2017郑州一中]已知圆M：222()0xyrr与直线1l：340xy相切，设点A为圆上一动点，ABx轴于B，且动点N满足2ABNB，设动点N的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）直线l与直线1l垂直且与曲线C交于P，Q两点，求OPQ△面积的最大值．【答案】（1）2214xy；（2）1．【解析】（1）设动点()Nxy，，00()Axy，，因为ABx轴于B，所以0(0)Bx，，设圆M的方程为222:xyMr，由题意得|4|213r，所以圆M的方程为22:4xMy．由题意，2ABNB，所以00(0)2()yxxy，，，所以，即002xxyy，将(2)Axy，代入圆22:4xMy，得动点N的轨迹方程2214xy．（2）由题意设直线l：30xym，设直线l与椭圆2214xy交于11()Pxy，，22()Qxy，，联立方程22344yxmxy，得221383440xmxm，222192413(44)16(13)0mmm，解得2 13m，22128316(13)432132613mmmmx，又因为点O到直线l的距离||2md，2124132||213mPQxx，2222(13)1||41321221313OPQmmmmS△≤．∴OPQ△面积的最大值为1．20．（本小题满分12分）[2017临川一中]已知右焦点为F的椭圆222:1(3)3xyMaa与直线37y相交于P、Q两点，且PFQF．（1）求椭圆M的方程；（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同的三点，并且O为ABC△的重心，试探究ABC△的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】（1）22143xy；（2）92．【解析】（1）设0Fc，，37Pt，，则37Qt，，∴22317ta，即2247ta①，∵PFQF，∴33771tctc，即2297ct②，∴由①②得224977ca，又223ac，24a，∴椭圆M的方程为22143xy．（2）设直线AB方程为：ykxm，由22143xyykxm得2223484120kxkmxm，∴122122834634kmxxkmyyk，∵O为重心，∴22863434kmmOCOAOBkk，，∵C点在椭圆E上，故有2222863434143kmmkk，可得22443mk，而2222222222841241141293343434kmmkABkkmkkk，点C到直线AB的距离231mdk（d是原点到AB距离的3倍得到），∴2222226619129312323442ABCmmSABdkmmmkm△，当直线AB斜率不存在时，3AB，3d，92ABCS△，∴ABC△的面积为定值92．20．（本小题满分12分）[2017长沙一中]如图，椭圆2212210xyCabab：（＞＞）的离心率为32，x轴被曲线22Cyxb：截得的线段长等于1C的长半轴长．（1）求1C的方程；（2）设2C与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与2C相交于点A、B，直线MA，MB分别与1C相交于D，E．（i）证明：MDME；（ii）记MAB△，MDE△的面积分别是1S，2S．问：是否存在直线l，使得121723SS？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214xy；（2）（i）证明见解析；（ii）32yx和32yx．【解析】（1）由题得22312cbeaa，从而2ab，又2ba，解得2a，1b，故1C的方程分别为2214xy．（2）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为ykx，由2ykxyxb得210xkx．设11Axy（，），22Bxy（，），则1x，2x是上述方程的两个实根，于是12xxk，121xx，又点M的坐标为01（，），所以21212121212121212(1)(1)()11MAMByykxkxkxxkxxkkxxxxxx．故MAMB，即MDME．（ii）设直线MA的斜率为1k，则直线MA的方程为11ykx．由1211ykxyx，解得01xy或1211xkyk．则点A的坐标为2111kk（，）．又直线MB的斜率为11k，同理可得点B的坐标为21111kk（，-1）．于是221111211111111||||1||1||222||kSMAMBkkkkk．由1221440ykxxy得22111480kxkx（）．解得01xy或，12121218144114kxkkyk，则点D的坐标为2112211841(,)1414kkkk．又直线ME的斜率为11k．同理可得点E的坐标为211221184(,)44kkkk．于是21122211321||1||||2(14)(4)kkSMDMEkk（）．故2112211417(417)6432SkSk，解得214k或2114k．又由点A，B的坐标得，21211111111kkkkkkk．所以32k．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为32yx和32yx．20．（本小题满分12分）[2017南阳一中]已知椭圆C：22221(0)xyabab过点(1,1)P，c为椭圆的半焦距，且2cb，过点P作两条互相垂直的直线1l，2l与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1l的斜率为1，求PMN△的面积；（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．【答案】（1）223144xy；（2）2；（3）0xy或12x．【解析】（1）因为椭圆C：22221(0)xyabab，过点(1,1)P，c为椭圆的半焦距，且2cb，所以22111ab，且222cb，所以223ab，解得243b，24a，所以椭圆方程为223144xy．（2）设1l方程为1(1)ykx，由221,34,ykxkxy整理得222(13)6(1)3(1)40kxkkxk，因为(1,1)P，解得2222361321(,)1313kkkkMkk，当0k时，用1k代替k，得22226323(,)33kkkkNkk，将1k代入，得(2,0)M，(1,1)N．因为(1,1)P，所以2PM，22PN，所以PMN△的面积为122222．（3）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则2211222234,34,xyxy两式相减得12121212()()3()()0xxxxyyyy，因为线段MN的中点在x轴上，所以120yy，从而可得1212()()0xxxx，若120xx，则11(,)Nxy，∵PMPN，所以0PMPN，得22112xy．又因为221134xy，所以解得11x，所以(1,1)M，(1,1)N或(1,1)M，(1,1)N，所以直线MN方程为yx．若120xx，则11(,)Nxy，因为PMPN，所以0PMPN，得2211(1)1yx，又因为221134xy，所以解得112x或1，经检验：112x满足条件，11x不满足条件．综上，直线MN的方程为0xy或12x．20．（本小题满分12分）[2017广东联考]椭圆2222:10xyEabab的左、右焦点分别为12FF，．（1）若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E过点02A，，直线1AF，2AF与椭圆的另一个交点分别为点BC，，且ABC△的面积为509c，求椭圆E的方程．【答案】（1）35；（2）22154xy．【解析】（1）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，∴2bac，22242baacc，222242acaacc，∴223520acac，两边同除以2a得，25230ee，解得35cea．（2）由已知得2b，把直线22:2AFyxc代入椭圆方程22214xya，得222