基变换与坐标变换

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和第六章线性空间§6.4基变换与坐标变换一、基变换§6.4基变换与坐标变换二、坐标变换§6.4基变换与坐标变换引入n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.§6.4基变换与坐标变换1、定义设V为数域P上n维线性空间，；12,,,n12,,,n为V中的两组基，若11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa①即，一、基变换§6.4基变换与坐标变换则称矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa为由基到基的过渡矩阵（transitionmatrix）；12,,,n12,,,n称①或②为由基到基12,,,n12,,,n的基变换公式．1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa②§6.4基变换与坐标变换2、有关性质（1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证：若为V的两组基,1212,,,;,,,nn且由基的过渡矩阵为A，1212,,,,,,nn到即1212(,,,)(,,,)nnA③§6.4基变换与坐标变换又由基也有一个过渡矩阵,1212,,,,,,nn到设为B，即1212(,,,)(,,,)nnB④比较③、④两个等式，有1212(,,,)(,,,)nnBA1212(,,,)(,,,)nnAB都是线性无关的,1212,,,;,,,nn.ABBAE即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.§6.4基变换与坐标变换反过来，设为P上任一可逆矩阵，()ijnnAa任取V的一组基12,,,,n1212(,,,)(,,,)nnA于是有，1,1,2,,nijiiajnj令11212(,,,)(,,,)nnA由A可逆，有即，也可由线性表出.12,,,n12,,,n1212,,,,,,nn与等价.§6.4基变换与坐标变换故线性无关，从而也为V的一组基.12,,,n并且A就是的过渡矩阵.1212,,,,,,nn到（2）若由基过渡矩阵为A,1212,,,,,,nn到基则由基过渡矩阵为A-1.1212,,,,,,nn到基§6.4基变换与坐标变换（3）若由基过渡矩阵为A,1212,,,,,,nn到基由基过渡矩阵为B，1212,,,,,,nn到基则由基过渡矩阵为AB.1212,,,,,,nn到基1212(,,,)(,,,)nnB1212(,,,)(,,,)nnA证：若1212(,,,)((,,,))nnAB则有，12(,,,)nAB§6.4基变换与坐标变换二、坐标变换⑤1、定义为V中的两组基，且12,,,n1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaaV为数域P上n维线性空间，12,,,;n§6.4基变换与坐标变换设且ξ在基与基12,,,n12,,,nV下的坐标分别为与，12(,,,)nxxx12(,,,)nxxx即，1212(,,,)nnxxx与1212(,,,)nnxxx§6.4基变换与坐标变换则1112111221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa或11112111221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．⑥⑦§6.4基变换与坐标变换例1在Pn中，求由基12,,,n到基12,,,n渡矩阵．其中12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n12(1,1,,1),(0,1,,1),,(0,,0,1)n的过渡矩阵及由基12,,,n12,,,n到基的过并求向量在基下的坐标.12,,,n12(,,,)naaa§6.4基变换与坐标变换11222nnnn解：1212100110(,,,)(,,,)111nn∴∵§6.4基变换与坐标变换11212100110(,,,)(,,,)111nn1210001100(,,,)01100001n而§6.4基变换与坐标变换12,,,n12,,,n到基由基的过渡矩阵为1000110001100001故由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为100110111§6.4基变换与坐标变换12(,,,)naaa在基下的坐标就是12,,,n12(,,,)naaa设在基下的坐标为，则12,,,n12(,,,)nxxx111222111000110001100001nnnnxaaxaaaxaaa所以在基下的坐标为12,,,n1211(,,,)nnaaaaa