2015高考数学理科全国一卷及----详解答案

理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷1.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数z满足=i，则|z|=（A）1（B）（C）（D）2（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）（B）（C）（D）（3）设命题P：nN，，则P为（A）nN,（B）nN,≤（C）nN,≤（D）nN,=（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312（5）已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是（A）（-，）（B）（-，）（C）（，）（D）（，）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D为ABC所在平面内一点，则（A）(B)（C）(D)（8）函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为(A)(B)(C)(D)（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8（10）的展开式中，的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20，则=（A）1（B）2（C）4（D）812.设函数,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数为偶函数，则（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴上，则该圆的标准方程为。（15）若满足约束条件则的最大值为.（16）在平面四边形中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）为数列的前项和.已知，（Ⅰ）求的通项公式：（Ⅱ）设,求数列的前项和。（18）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）证明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。46.65636.8289.81.61469108.8表中，（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：（20）（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线与直线交与两点，（Ⅰ）当时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）轴上是否存在点P，使得当变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。（21）（本小题满分12分）已知函数(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线的切线；（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，设函数，讨论h（x）零点的个数请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的直径，是的切线，交于（I）若D为AC的中点，证明：DE是的切线；（II）若，求∠ACB的大小.（23​）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求，的极坐标方程；（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为,,求的面积（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围参考答案一．选择题（1）A（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）D二．填空题（13）1（14）（15）3（16）三．解答题（17）解：（Ⅰ）由，可知可得，即由于，可得又，解得（舍去），所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为…………………6分（Ⅱ）由可知设数列的前项和为，则…………………………………………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）连结BD，设，连结在菱形中，不妨设，由，可得由平面，，可知，又，所以，且在中，可得，故在中，可得，在直角梯形中，由，可得从而，所以又，可得平面因为平面，所以平面平面…………………………6分（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，，，，所以…………………………………10分故所以直线与直线所成角的余弦值为…………………………12分（19）解：（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型………………2分（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于所以关于的线性回归方程为，因此关于的线性回归方程…………………………………………6分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值年利润的预报值…………………………………9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值所以，当，即时，取得最大值，故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分（20）解：（Ⅰ）由题设可得，或又，故在处的导数值为，在点处的切线方程为，即在处的导数值为，在点处的切线方程为，即故所求切线方程为和…………………5分（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，，直线的斜率分别为将代入的方程得故从而当时，有，则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故，所以点符合题意…………………………12分（21）解：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，即解得因此，当时，轴为曲线的切线…………………………5分（Ⅱ）当时，，从而，故在无零点当时，若，则，故是的零点；若，则，故不是的零点。当时，。所以只需考虑在的零点个数。（ⅰ）若或，则在（0，1）无零点，故在（0，1）单调，而，所以，当时，在（0，1）有一个零点；当时，在（0，1）没有零点。（ⅱ）若，则在单调递减，在单调递增，故在（0，1）中，当时，取得最小值，最小值为。①，即，在（0，1）无零点；②，即，则在（0，1）有唯一零点；③，即，由于，所以当时，在（0，1）有两个零点；当时，在（0，1）有一个零点………………………………………………10分综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点……………………………12分（22）解：（Ⅰ）连结，由已知得，在中，由已知得，，故连结，则又，所以，故，是的切线……………………………………5分（Ⅱ）设，由已知得由射影定理可得，，所以，即可得，所以……………………………10分（23）解：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为……………………………5分（Ⅱ）将代入，得，解得，故，即由于的半径为1，所以的面积为………………………10分（24）解：（Ⅰ）当时，化为当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得所以的解集为…………………5分（Ⅱ）由题设可得，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为由题设得，故所以的取值范围为………………………………10分