非相对论性量子力学中的路径积分 Part Two

非相对论性量子力学中的路径积分PartTwo微扰理论1，自由传播子在上一章中，我们从拉氏量出发，得到了满足Schrodinger方程的传播子：这里和上一章一样，只考虑对动量二次依赖的Hamilton量，因而传播子可以写为：其中S就是作用量：,,;,etftiidtpxHpxffiiKxtxtDxDp12,;,,2limniSffiinmKxtxtNDxeNi2,2fittmSLdtLxVx1，自由传播子现在，我们只考虑自由粒子，因而拉氏量中就没有势能项：因而可以将自由粒子的传播子写为：或者用时间分片积分的形式：22mLx20,;,exp2fitffiitimKxtxtNDxxdt1221001,;,exp22limnnnjjffiiknjkxxmimKxtxtdxi1，自由传播子利用如下公式可以计算上述积分：我们可以用数学归纳法来证明这个等式2221121122...exp...exp11nnnnndxdxixaxxbxiibann1，自由传播子先看只有一个积分变量时的情况：显然是满足之前的等式的。2211122211122111211221expexp22exp222exp2exp221111dxixabxdxixabxabababdxixabiiiabi1，自由传播子随后，当n=k上述等式满足时，我们来看k+1的情况：222111111222111222211121...exp...expexp1111121122expkkkkkkkkkkkkkkkdxdxdxixaxxbxiidxxaibxkkakbkabkxabxxkkkkidxk2211221122exp112expexp2121expexp22221kkkkxaibxakbikabdxixkkkkiiiababkkkkik1，自由传播子从而有：从而，一旦n=k时等式成立，n=k+1时等式也成立。由上述两点，就可以证明一开始的Gauss型积分是成立的。由此，我们可得到传播子形式：22211111111122221...exp...1expexp12222kkkkkkkkkkkdxdxdxixaxxbxkiiiiiababkkkkk1，自由传播子利用之前的Gauss型积分公式，我们可以将传播子写为：可见，这里已经没了无穷大因子了122100111222122,;,exp222exp2112exp2121limlimlimnnnjjffiiknjknnnnfinfinxxmimKxtxtdximiimxxinmnmmixxinn2exp22fififixxmimitttt1，自由传播子这里我们可以发现，虽然在一开始对动量的积分出现了一个无穷大因子，但是最后这个因子可以被坐标积分所得到的一个无穷小因子所抵消掉，最后留下一个有限量。可见，对自由传播子而言，上一章中所出现的无穷大常数因子这里已经被消掉了。由于现在的时空是Galilei不变的，而且对时间是均匀，因而自由传播子自然应该只依赖于时间间隔和空间间隔，正如上面传播子函数所示。1，自由传播子前面得到的自由传播子的变量都是空间坐标，有的时候我们更加关注的是动量的情况，因而可以将传播子通过Fourier变换来得到动量传播子：这就是从初态运动到末态，动量为p的传播子。00221,,21exp221exp22ipxKpteKxtdxmimxpxdxittiptm1，自由传播子利用自由的动量传播子，我们可以反过来表达空间传播子：这是用Fourier展开形式表示的传播子。从形式上说，这和之前第一章中用坐标与动量的泛函积分所表示传播子的形式相同：0021,,21exp22ipxKxteKptdpixptpdptm,,;,etftiidtpxHpxffiiKxtxtDxDp1，自由传播子但是，现在的传播子，无论是一开始的还是用Fourier表示的都不满足我们最一开始所要求的边界条件：也即，现在的传播子都不满足因果律。因而，需要给传播子加上因果律限制。0,00Kxt20,exp22mimxKxtitt201,exp22ixpKxttpdptm1，自由传播子我们可以给传播子加上阶跃函数，从而自然得到因果律：可以取围道积分来进行验证：如果Δt0，那么积分围道只能取上半平面，此时围道包含奇点iε，考虑到围道是逆时针的，从而积分就等于奇点处留数，1；而如果Δt0，则积分围道只能取下半平面，此时围道内不含奇点，从而积分为零。102itetdii1，自由传播子现在，将因果律条件加入到传播子上，从而传播子可以写为（从Fourier展开来获得）：我们用E来表示粒子的能量。对自由粒子来说，其能量和动量满足下述自由色散关系，成为“在壳”：2021,exp22exp222ixpKxttpdpttmixptptmdpdii22pEm1，自由传播子而这里，由传播子的形式，我们可以定义一个不在壳的能量形式：这样传播子就可以改写为：这里要注意从ω到E的变量替换过程中，积分路径也会发生变化，因而负号会被抵消。变量代换过程中，需要用到Jacobi行列式，在现在的问题中Jacobi行列式显然为1。现在，由于粒子已经非在壳了，因而能量也能任意变化。22pEm02,exp222dpdEiiKxtpxEtpEim1，自由传播子前面都是对一维空间的结论，事实上可以按照类似的过程类推到三维空间的情况，得到三维自由传播子：这样我们就得到了能量动量表象下的传播子。由于粒子已经不用在壳，p和E都是独立变量，从而在传播子中也包含了经典情况中所没有的路径的贡献。而当时，在壳的色散关系回复。因而这里就能看出量子情况就是在经典情况上加上许多量子修正，并且直接体现在传播子中。同时，我们可以看到现在在壳条件作为函数奇点而出现。3032,exp222dpdEiiKxtpxEtpEim02，微扰展开我们现在假定粒子运动以自由运动作为基础，而势能V则对粒子的运动产生扰动。进一步，我们假定粒子的Hamilton量现在具有如下形式：相应的，我们就可以把传播子下为如下形式（因为现在H对p是二次依赖的）：其中作用量为：2,2pHVxtm,;,iSffiiKxtxtNDxe2,,2ffiittttmSLxxdtxVxtdt2，微扰展开对作用量的积分，我们可以将动能部分和势能部分分离：其中第一部分就是自由传播子，而势能部分可以做微扰展开：将这个结果带入传播子中：2,2ttffttiiimiixdtVxtdtSeee2,2111,,...2!tffftiiiiVxtdtttttieVxtdtVxtdt022012,;,111,,...2!...ffiiiSffiittttKxtxtNDxeiVxtdtVxtdtKKK2，微扰展开这就是由势能的微扰展开得到的传播子的微扰展开，其中K0就是之前得到的自由传播子，而K1、K2则是：我们将K1、K2称为传播子的一阶和二阶修正。我们下面就来关注一阶、二阶修正的传播子的形式。001222,;,,1,;,,2fifiitSffiititSffiitiKxtxtNDxeVxtdtKxtxtNDxeVxtdt2，微扰展开——一阶修正传播子的一阶修正为：这里。我们将一阶修正写为：随后对求和与求积重新排序：01,;,,fiitSffiitiKxtxtNDxeVxtdt202mSx12121101,;,2,exp2limnffiinnnnikkjjkjiimKxtxtimdxVxtixx2，微扰展开——一阶修正将第k个x独立“抽”出积分，从而可以将整个积分重新排序：对比自由传播子方程，我们发现后面两部分事实上就是自由传播子1111221012211,;,,exp22exp22limnffiikkknkkkkijjjiknnijjjkikiKxtxtdxVxtmmdxixximmdxixxi2，微扰展开——一阶修正从而，传播子的一阶修正可以用自由传播子来表示：这里，由于有因果律限制，因而对中间态时间的积分只能取在初末态时间之间。同样的，对二阶修正，也可以采用类似的方法，将势能函数提取到整体积分外，从而得到如下形式：这里只要保证即可。同时，由于中间态t1和t2是可交换的，因而会出一个交换因子2，与展开中的2抵消。11101111011,;,,;,,,;,fitffiiffiitiKxtxtdxdtKxtxtVxtKxtxt2011112011222202212121,;,,;,,,;,,,;,ffiiffiiKxtxtKxtxtVxtKxtxtVxtKxtxtdxdxdtdt12fitttt2，微扰展开——一阶修正从而，对任意阶修正，我们都可以用类似的方法去做“分割”，从而最终能将修正写为如下形式：这里要求中间态的交换因子为n!，正好与展开中的因子抵消。这种展开成为Born展开011111