微分中值定理习题

目录上页下页返回结束二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章目录上页下页返回结束xyOab)(xfy拉格朗日中值定理)()(bfaf一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理0)(fxyOab)(xfy)()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()(10)1(!)1(1))((nnnxxfxxF)(泰勒中值定理))(()()(000xxxfxfxfnnnxxxf))((00)(!10n)()()(bfafxxF柯西中值定理目录上页下页返回结束2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论目录上页下页返回结束3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.目录上页下页返回结束例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点,),(0bax再取异于0x的点,),(bax对为端点的区间上用拉氏中值定理,得))(()()(00xxfxfxf))(()()(00xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定数)可见对任意,),(bax,)(Kxf即得所证.目录上页下页返回结束例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证.0)(2)(ff设辅助函数)()(2xfxx显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使0)()(2)(2ff即有少存在一点目录上页下页返回结束例3.且试证存在证:欲证,2)()(fbaf因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有),(,))(()()(baabfafbf,],[)(2上满足柯西定理条件在及又因baxxf将①代入②,化简得故有①②),(2)(fbaf),(,ba即要证.2)())((22fababf目录上页下页返回结束例4.设实数满足下述等式01210naaan证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令,)(10nnxaxaaxF则可设121012)(nnxnaxaxaxF且)0(F由罗尔定理知存在一点,)1,0(使即.10010内至少有一个实根），（在nnxaxaa,0)1(F目录上页下页返回结束例5.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且,1)3(,3)2()1()0(ffff使,)3,0(.0)(f分析:所给条件可写为1)3(,13)2()1()0(ffff(2003考研)试证必存在想到找一点c,使3)2()1()0()(fffcf证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故Mfffm)2(),1(),0(Mmfff3)2()1()0(由介值定理,至少存在一点使,]2,0[c3)2()1()0()(fffcf1,1)3()(fcf,)3,(,]3,[)(内可导在上连续在且ccxf由罗尔定理知,必存在.0)(,)3,0()3,(fc使目录上页下页返回结束例6.设函数在上二阶可导,且证明证:,]1,0[x由泰勒公式得)0(f)1(f两式相减得221221)()1)(()(0xfxfxf221221)()1)(()(xfxfxf221221)()1()(xfxf)1(21xx]1,0[,1x)(xfxxf)(221)(xf)10()10()1)(()1)(()(221xfxxfxf目录上页下页返回结束二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题•目标函数的建立与简化•最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.补充定理(见下页)目录上页下页返回结束设函数)(,)(xgxf在上具有n阶导数,且)1,,2,1,0()()()1()()(nkagafkk则当时证:令,)()()(xgxfx则;)1,,1,0(0)()(nkak)(0)()(axxn利用在处的n－1阶泰勒公式得)(x因此ax时.)()(xgxfnnaxn)(!)()(定理.目录上页下页返回结束的连续性及导函数例7.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为;极小值点为;极大值点为.),0(),,(21xx),(),0,(21xx21,xx0x提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;)(xfO2x1xyxOx)(xf1x2x目录上页下页返回结束O)(xfx.在区间上是凸弧;拐点为),0(),,(21xx))0(,0(,))(,(,))(,(2211fxfxxfx提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,),(),0,(21xx)(xfO2x1xyx2x1x目录上页下页返回结束]ln)1ln([)()(1xxxfxf例8.证明在上单调增加.证:)1ln()(ln1xxxf]ln)1ln([xxx令,ln)(ttF在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,]111[xxx)10(1ln)1ln(xxxx故当x0时,从而在上单调增.得目录上页下页返回结束例9.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.证:设)(e)(xfxx则])()([e)(xfxfxx0故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因,0ex因此)(xf也至多只有一个零点.思考:若题中改为,0)()(xfxf其他不变时,如何设辅助函数?)(e)(xfxx目录上页下页返回结束例10.求数列的最大项.证:设),1()(1xxxfx用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令得)e,1[),e(0e1e因为在),1[只有唯一的极大值点,ex因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值列表判别:目录上页下页返回结束例11.证明.)0(1arctan)1ln(xxxx证:设xxxxarctan)1ln()1()(,则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0x故0x时,)(x单调增加,从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考:证明)10(arcsin)1ln(11xxxxx时,如何设辅助函数更好?xxxxxarcsin1)1ln()1()(2提示:目录上页下页返回结束例12.设在上存在,且单调递减,有证:设,)()()()(xfafxafx则)()()(xfxafx所以当令,bx得即所证不等式成立.证明对一切目录上页下页返回结束例13.证:只要证,1e)1()(2xxxfx设0)0(f则,1e)21()(2xxxf0)0(f)10(0e4)(2xxxfx利用一阶泰勒公式,得2!2)()0()0()(xfxffxf)10(0e222xx故原不等式成立.目录上页下页返回结束例14.证明当x0时,证:令,)1(ln)1()(22xxxxf则0)1(fxxxfln2)(0)1(fxxfln2)(,121x02)1(f32)1(2)(xxxfxx1,)1(2x法1.由)(xf在1x处的二阶泰勒公式,得)(xf2)1(!2)1(xf3)1(!3)(xf2)1(x332)1(31xxx在,0(0故所证不等式成立.与1之间)目录上页下页返回结束法2.列表判别.,)1(ln)1()(22xxxxf0)1(f2ln2)(1xxxxf0)1(f,1ln2)(21xxxf02)1(f32)1(2)(xxxfx)(xf)(xf)(xf)(xf1)1,0(),1(0020,0)(0xfx时故当即.)1(ln)1(22xxx目录上页下页返回结束例15.求解法1利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221)1(limannnna目录上页下页返回结束解法2利用泰勒公式令,arctan)(xxf则,11)(2xxf22)1(2)(xxxf)()0()0()0()(22!21xoxfxffxf)(2xox原式2limnn)0()1arctan(arctanlim2ananann22112)()1(limnnnonnna)]1([2nona)])1(1(1[2nona目录上页下页返回结束解法3利用洛必达法则原式21arctanarctanlimxxbxaxxt1令20arctanarctanlimttbtat目录上页下页返回结束P1825;*7;*8;10(2),(3);11(1);17;20作业目录上页下页返回结束备用题1.设函数),0()(在xf上具有二阶导数，且满足证明序列)}({nf发散.证：单调递增，)(,0)(xfxf)2,1(,0)()1()2(,)2()1(11fffff11,0)()(xfxf),2()2(!2)()2)(2()2()(2nnfnffnf)2)(2()2(nffn故序列)}({nf发散.,)2()1(,0)(ffxf(2007考研）目录上页下页返回结束保号性定理2.设)(xf在区间],[ba上连续,且,0)()(bfaf,0)()(bfaf试证存在,),(ba使.0)(f证:不妨设.0)(,0)(bfaf0lim)()()(axafxfaxaf必有1x,),(2baa使,011)(axxf故0)(1xf0lim)()()(bxbfxfbxbf保号性定理必有2x,),(2bba使,022)(bxxf故0)(2xf又在],[],[21baxx上)(xf连续,由零点定理知,存在,),(),(21baxx使.0)(f目录上页下页返回结束3.已知函数)1,0(,]1,0[)(在上连续在xf内可导,且证:(1)令且上连续，在则]1,0[)(xg,1)()(xxfxg01)1(,01)0(gg证明,1)1(,0)0(ff－使得存在1)(),1,0()1(f)1,0(故存在01)()(fg使即1)(f(2005考研）011)()(),1,0(,)2(ff使得存在两个不同的点目录上页下页返回结束)1,0(,]1,0[)(在上连续在xf内可导,且(2)根据拉格朗日中值定理,存在),1,0(),0(0)0(