2.4 旋度

《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度12020年1月20日星期一CirculationandRotationofVectorField《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度22020年1月20日星期一不是所有的向量场都由通量源激发．存在另一类不同于通量源的向量源，它所激发的向量场的向量线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零．但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零．一.环量(Circulation)例如：流速场《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度32020年1月20日星期一F设有力场),(MFF为场内的一条有向的封闭l曲线，dll求质点在场力的作用下，沿l的正向运转一周所做的功。MF在曲线l取弧元素,dl同时用dl表示其弧长，在dl上正向单位切向量记为,0力F在方向的投影记为,F则质点在力作用下沿dl所作的功为dlFdWdlF0ldF所以ldlFWlldF一.环量(Circulation),0《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度42020年1月20日星期一流速场),(Mvv在单位时间内沿场内的有向闭曲线l环量为lldv磁场强度场),(MHH通过场内以有向闭曲线l为边的有向曲面S（其法向与l的正向成右手法则)的总电流强度为lldH一.环量(Circulation)类似地，《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度52020年1月20日星期一流速场),(Mvv在单位时间内沿场内的有向闭曲线l环量为lldv磁场强度场),(MHH通过场内以有向闭曲线l为边的有向曲面S（其法向与l的正向成右手法则)的总电流强度为lldH《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度62020年1月20日星期一在直角坐标系下，设kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(dllddlkzjyix)),cos(),cos(),(cos(kdzjdyidx则lldAlRdzQdyPdx例1计算矢量场,kjxiyA沿场内有向曲线zyzyx,1222l:的环量，其中l的方向从z轴正向看去是逆时针的。《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度72020年1月20日星期一kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(kzdjydixdldldzRdyQdxPldlA直角坐标系中则环量可写为定义1设有向量场),(MAAl为场内的一条有向闭曲线，称曲线积分lldlAldA为向量场A沿有向曲线l的环量。《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度82020年1月20日星期一流速场),(Mvv在单位时间内沿场内的有向闭曲线l环量为lldv磁场强度场),(MHH通过场内以有向闭曲线l为边的有向曲面S（其法向与l的正向成右手法则)的总电流强度为lldH1环量的定义定义1设有矢量场),(MAAl为场内的一条有向闭曲线，称曲线积分lldlAldA《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度92020年1月20日星期一对于力场，环流代表质点绕闭合曲线C旋转一周，力所做的功。llAdldzRdyQdxPAldC),,(zyx如果向量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该向量场为有旋向量场，能够激发有旋向量场的源称为旋涡源。环量可以用来描述产生该向量场的旋涡源．《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度102020年1月20日星期一llAd环量的性质：环量是数量.ldzRdyQdxPPAA（a）lΓ0，场有沿着C旋转的量，旋涡场，有旋涡源正向穿过曲面S.（S的法向与C成右手螺旋关系）.S环流描述穿过S面的涡旋源的总量.Γ0，场有沿着C反向旋转的量，有旋涡源反向穿过S.Γ＝0，场没有沿着C旋转的量，没有旋涡源穿过S.《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度112020年1月20日星期一IlHCd0dClE恒磁场静电场说明恒磁场是旋涡场，电流是其旋涡源。说明静电场是非旋涡场。环量只能在总量上反映场在某回路上的旋涡特性。《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度122020年1月20日星期一流速场均匀直线流动非均匀直线流动水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无旋涡运动流体做涡旋运动0，有产生旋涡的源《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度132020年1月20日星期一例1计算向量场,kjxiyA沿场内有向曲线zyzyx,1222l:的环量，其中l的方向从z轴正向看去是逆时针的。解l的参数方程为tztytxsin22,sin22,coslldzxdyydxdlA20)sin22[(t)sin(ttcos)cos22(t1dtt)]cos22(2《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度142020年1月20日星期一例2的环量（如图）．沿曲线是常数求向量场0,)2()(222zRyxckcjxiyA《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度152020年1月20日星期一解：由于在曲线上z=0，所以dz=0．ldAlxdyydx)(2020)sin()cos2()cos2(sinRdRRdRdRRdRcos)cos2(sin202202dRR]cos2)cos(sin[22220dRR)cos2(22022R《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度162020年1月20日星期一在磁场强度场)(MHH沿场内有向闭曲线l中，的环量等于通过以l边的有向曲面S的总电流强度，有时需要了解场中一点M处通过任一方向n的电流密度（即在点M处，沿方向n，通过与n垂直的单位面积的电流强度)。二.环量面密度《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度172020年1月20日星期一CMnA在场矢量中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为.)(MAn当面元面积无限缩小时，可定义在点M处沿方向的环量面密度)(MAnsldACsn0lim即单位面积平均环流的极限.C的正方向与符合右手螺旋法则.n表示矢量场在点M处沿方向的漩涡源密度.)(MAn《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度182020年1月20日星期一环量面密度：矢量的环量与产生这种矢量的旋涡源有关：dSnsldACsn0lim单位面积内的环量.如果某矢量的环量不为零，则认为场中必然有产生这种场的旋涡源.如果环量为零，则这个场中不可能有旋涡源.《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度192020年1月20日星期一SCMne0n说明场在该点有旋涡，该点有沿着方向的旋涡源，源的面密度为nen0n说明场在该点有旋涡，该点有沿着方向的旋涡源，源的面密度为nen0n场在该点无旋涡部分，无该方向的旋涡源。ne《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度202020年1月20日星期一SldHlMSnlimSIMSlim即为在点M处的沿方向dSdIn电流密度。在流速场)(Mv中，在点M处沿方向n的环量面密度SldvlMSnlimSQtMSlimdSdQt即为在点M处与n成右手法则方向的环流对面积的变化率，称为环流密度(或环流强度).例如，在磁场强度场)(MH中，在点M处沿方向n的的环量面密度《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度212020年1月20日星期一环量面密度在直角坐标下计算公式设kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(kjincoscoscos则由斯托克斯公式知lldAlRdzQdyPdxSyxxzzydxdyPQdzdxRPdydzQR)()()(SxzzyRPQRcos)(cos)[(dSPQyx]cos)(《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度222020年1月20日星期一由中值定理得cos)(cos)[(xzzyRPQRSPQMyx*]cos)(其中M*为曲面S上一点，当MS时，MM*所以SMSnlimcos)(cos)(cos)(yxxzzyPQRPQRRQPzyxcoscoscos《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度232020年1月20日星期一旋度的定义(rotation)旋度是反映漩涡源的一个矢量，方向：使得环量密度最大时面元的法向大小：该点最大的环量面密度。三.向量场的旋度记作：0max)(rotnAn旋度是由矢量场派生出来的一个矢量场,也称旋度场.)(MA《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度242020年1月20日星期一旋度的意义旋度用于反映矢量场的漩涡源的分布情况方向：漩涡面方向大小：漩涡强度旋度为0，该点无漩涡旋度不为0，该点有漩涡如果矢量场处处旋度为0，则该矢量场为无旋场环量面密度等于旋度在面元法线方向的投影.rot0nAn《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度252020年1月20日星期一在磁场强度场)(MH中，点M处的旋度Hrot表示电流密度矢量。由旋度的定义可知：nAnrotAnrot在点M处沿方向n环量面密度等于旋度在n方向的投影。斯托克斯公式的矢量表示式为SlSdAldArotSSdA)(如果在矢量场A中的每一点都有,0rotA则称矢量场为无旋场。《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度262020年1月20日星期一在直角坐标系下，如果kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(则RQPzyxkjiAkPQjRPiQRAyxxzy)()()(rotz《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度272020年1月20日星期一旋度和散度的区别：（1）矢量场的旋度是矢量，散度是标量。（2）旋度描述场中各点的旋涡源强度；散度描述场中各点的通量源强度。（3）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度282020年1月20日星期一例3求矢量场kyzjyzxixzA42322在解42322yzyzxxzzyxkjiArotiyxz)22(24jxz23kxyz4)1,1,2(M处的旋度。.866kjiArotM《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度292020年1月20日星期一将其与散度的计算公式zyxRQPA和旋度的计算公式kPQjRPiQRAyxxzzy)()()(引入矢量场kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(的雅可比矩阵zyxzyxzyxRRRQQQPPPAD对照可知：AD对角线元素的和为,divA利用其余六个偏导数可以构造出.rotAijk《场论初步》§2.4向量场的环量及旋度302020年1月20日星期一例4求矢量场kyzjyzxixzA42322的散度、Adiv旋度.rotA解A的雅可比矩阵为AD3z023xzxyz4zx22yx22042z所以38yzAdiv3zzx2238yzArot