分类讨论思想方法

分类讨论思想方法分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。一、在什么情况下要进行分类讨论1．数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论。2．研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的“量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论。3．在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各种情况分别进行讨论。4．含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合加法原理或乘法原理完成解答。5．树立划分意识，训练思维的严谨性，保证解题的正确与完整。二、分类讨论的步骤、原则和方法1．分类评论的一般步骤是：→明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类→逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论。2．逻辑划分应遵循的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。4．分类讨论后如何归纳结论。（1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用分列式。（2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均是总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。三、灵活运用逻辑划分的思想方法1．通过“补集”间接求解。2．有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。Ⅰ、再现性题组：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_________。A.0≤a≤1；B.a≤1；C.a1；D.0a1。2．若a0且a≠1，p＝，q＝，则p、q的大小关系是_________。A.p＝q；B.pq；C.pq；D.当a1时，pq；当0a1时，pq。)1(log3aaa)1(log2aaa3．函数的值域是_________。|||||cos|cos|sin|sinctgxctgxtgxtgxxxxxy4.若，则的值为_________。2,0∞→nlimθθ＋θθnnnnsincossincosA.1或－1；B.0或－1；C.0或1；D.0或1或－1。5.函数的值域是_________。A.[2,+∞]；B.(-∞,-2]∪[2,+∞]；C.(-∞,+∞)；D.[-2,2]。xxy16．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_________。A.；B.；C.；D.或。3983943923943985．过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_________。A.3x－2y＝0；B.x＋y－5＝0；C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0；D.不能确定。Ⅱ、示范性题组：例1.设0x1，a0且a≠1，比较||与||的大小。)1(logxa)1(logxa【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。【解】∵0x1∴01－x1,1＋x1当0a1时，||－||＝)1(logxa)1(logxa)1(logxa－)1(logxa)1(log2xa0;当a1时，||－||＝……)1(logxa)1(logxa由①、②可知，……例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①CA∪B且C中含有3个元素；②C∩A≠φ。【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。【解】·＋·＋·＝1084112C28C212C18C312C08C【另解】（排除法）：例3.设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围。【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。（也属数形结合法）【解】当a0时，f(x)＝a（x－）＋2－1a1a111220afa≤＝≥()1141210afaa()＝或∴或14416820afa≥＝≥()∴a≥1或a1或φ即a；1212当a0时，，解得φ；02816)4(022)1(≥＝≥＝afaf当a＝0时，f(x)＝－2x＋2,f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意由上而得，实数a的取值范围是a。12例4.解不等式0(a为常数，a≠－)12)6)(4(aaxax12【分析】含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对a0、a＝0、－a0、a－分别加以讨论.1212【解】2a＋10时，a－；－4a6a时，a0。所以分以下四种情况讨论：21当a0时，(x＋4a)(x－6a)0，解得：x－4a或x6a；当a＝0时，0，解得：x≠0；2x当－a0时，(x＋4a)(x－6a)0，解得:x6a或x－4a；1212当a－时，(x＋4a)(x－6a)0，解得：6ax－4a。综上所述，……【注】含参问题，结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论。（含参型）∴z为实数或纯虚数例5.设a≥0,在复数集C中，解方程：＋2|z|＝a。(90年全国高考)2z【解】∵z∈R，由＋2|z|＝a得：∈R；2z2z当z∈R时，＋2|z|＝a,解得：2z|z|＝－1＋1a1a∴z＝±(－1＋)；当z为纯虚数时，设z＝±yｉ(y0)，∴＋2y＝a解得：2yy＝1±（0≤a≤1）1a由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ1a1a【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。（简化型）【另解】设z＝x＋yｉ，代入得;22222axyiyxyx0222222xyayxyx∴当y＝0时，…例6.在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。（本题难度0.40）【分析】求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。【解】设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则)12()1()1(22)()(2222222aaxaxaxxaxyaxMA〕〔由于＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：2y当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即12min2aMA当a－10时，x＝0取最小值，即2min2aMA综上所述，有f(a)＝。||12aa)1()1(时时≥aaⅢ、巩固性题组：1.若1，则a的取值范围是_____32loga),32.();,1()32,0.();1,32.();32,0.(DCBA2.非零实数a、b、c，则＋＋＋的值组成的集合是_____。aa||bb||cc||abcabc||A.{-4,4}；B.{0,4}；C.{-4,0}；D.{-4,0,4}3.f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。A.当x＝2a时，有最小值0；B.当x＝3a时，有最大值0；C.无最大值，且无最小值；D.有最小值但无最大值。4.设f(x,y)＝0是椭圆方程，g(x,y)＝0是直线方程，则方程f(x,y)＋λg(x,y)＝0（λ∈R）表示的曲线是_____。A.只能是椭圆；B.椭圆或直线；C.椭圆或一点；D.还有上述外的其它情况.5.函数f(x)＝(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。baxax222A.a＝1,b＝0；B.a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3C.a＝－1，b＝3；D.以上答案均不正确。6.方程的整数解的个数是_____。1)1(22xxxA.1；B.3；C.4；D.5。7.到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。A.7；B.6；C.5；D.4。8.z∈C，方程－3|z|＋2＝0的解的个数是_____。A.2；B.3；C.4；D.5。2z9.复数z＝a＋aｉ(a≠0)的辐角主值是______________。10.解关于x的不等式：2log(2x－1)log(x－a)(a0且a≠1)a2a∞→nlim11.设首项为1，公比为q(q0)的等比数列的前n项和为S，又设，求T。1nnnSSTn12.若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求z。2313.有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。14.函数f(x)＝(|m|－1)x－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。2