第四章 算符

)()()](2[222xExxVdxdm第四章算符EHˆ定义：一种规则，用它我们能够从给出的某个函数求出另外的对应的函数。（用抑扬符表示一算符）4.1算符例如：dxdDˆ若f(x)可微：)(')(ˆxfxfDxxexexD32)3(ˆ23ˆ是将一函数乘以3的算符，则：xxexex93)3(3ˆ22量子力学中表示力学量的算符一定是线性Hermite算符。（1）和的运算)(ˆ)(ˆ)()ˆˆ(xfBxfAxfBA例如：xxxxexxexexexD1232)93()32()3)(3ˆˆ(222（2）积的运算)](ˆ[ˆ)(ˆˆxfBAxfBA例如：)(3)(3ˆ)](ˆ[3ˆ)(ˆ3ˆxfxfxfDxfD运算依次从右向左进行;一般说来，不能认为和具有相同的作用。BAˆˆABˆˆ算符的运算)()ˆˆ1ˆ()()()]([)(ˆˆxfDxxfxxfxxfdxdxfxD)()]([ˆ)(ˆˆxfxxfdxdxxfDx所以，这里和是不同的算符。BAˆˆABˆˆ（3）相等算符若和是两个算符，对于所有的函数f，都有：AˆBˆfBfAˆˆBAˆˆ，则两个算符相等，即：例如考虑算符和：dxdxˆ（4）单位算符（乘以1）和0算符（乘以0）（5）算符服从乘法结合律CBACBAˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ0ˆ例如：3ˆˆ,ˆˆ,ˆCxBdxdAfxffDxfCBADxxDBA333)ˆˆ1(]ˆ)ˆˆ[(,ˆˆ1ˆˆˆˆfxfxfDfCBAxCB33)3(ˆ)]ˆˆ(ˆ[,ˆ3ˆˆ1ˆDxxDˆˆ1ˆˆˆ0ˆ1ˆˆˆˆˆDxxD01ˆˆˆˆDxxD例如：注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。（6）算符的对易不一定服从乘法交换律对一般代数来说，若a和b是实数，则ab＝ba。但算符不一定如此。定义算符与的对易子为:AˆBˆ]ˆ,ˆ[BAABBABAˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[若ABBAˆˆˆˆ则称算符和是可对易的。AˆBˆ03ˆ3ˆ],3ˆ[dxddxddxd而1ˆˆˆˆ]ˆ,[DxxDxdxd例如：（7）算符的平方AAAˆˆˆ2例如，微分算符的平方：ffDfDDxfDˆˆˆ)(ˆ2222ˆdxdD一个算符的n次方等于此算符连续运算n次。定义为算符与自身的乘积，即：一函数取复共轭的算符，其平方等于单位算符。nnndxdDˆ（8）线性算符只有具有下列两个性质时才是线性算符：)(ˆ)]([ˆ)(ˆ)(ˆ)]()([ˆxfAcxcfAxgAxfAxgxfA如：是线性算符，而平方根算符是非线性的。222,,ˆdxddxdxCABACBACBCACBAˆˆˆˆ)ˆˆ(ˆ,ˆˆˆˆˆ)ˆˆ(证明：fCBCAfCBfCAfCBfCAxfCBAxfCBA)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)](ˆ)[ˆˆ()(]ˆ)ˆˆ[(线性算符中两个有用的恒等式：公设：若1，2，…n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的也是该体系可能存在的状态。fxDxDfxfxfxffxffxDfxDxDxfxD)1ˆˆˆ2ˆ())(ˆˆ(])ˆˆ)[(ˆˆ()()ˆˆ(22221ˆˆˆ2ˆ)ˆˆ(222xDxDxD1ˆˆˆ2ˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ)(ˆˆ()ˆˆ(2222222xDxDxDxDxDxDxxDDxDxxDDxDxDxD例：求2)ˆ(xdxd（1）（2）定义：若用算符Â作用于某一函数f(x)的结果为某一常数k乘以f(x)，即：)()(ˆxkfxfA例如：xxeedxd222则e2x是算符的具有本征值2的本征函数。4.2本征函数与本征值则称f(x)是Â的具有本征值k的本征函数，上式称为算符Â的本征方程。dxd)()(xkfdxxdf)(xkdfdf常数kxflnkxkxcfeee常数本征值k可以是任意数而仍能满足本征方程。本征函数含一任意相乘常数c，这对任何线性算符的本征函数是真实的。即若f(x)为线性算符Â的具有本征值k的一个本征函数，则cf(x)仍为该算符的本征函数。问题：算符的所有的本征函数和本征值是多少？dxd)(ˆ)(ˆcfkckffAccfA证明：本征方程（1）对于每一个不同的本征值k，得到一个不同的本征函数。（2）即使本征值k相同，若常数c不同，仍有不同的本征函数。（3）具有同一k值但不同c值的本征函数不是线性独立的。kxkxcfeee常数)()(xkfdxxdf由于k可能为复数，即k=a+ib，所以：ibxaxkxececfe若a为正，则当x→+∞时，eax趋于无穷大；若a为负，则当x→－∞时，eax趋于无穷大；因此，边界条件要求a＝0，而有纯虚数的本征值k＝ib。)()(xkfdxxdf当x趋向±∞时上式的解保持有限的边界条件？)()()](2[222xExxVdxdm)(x)(2222xVdxdm对于一个势能V(x)只是坐标的函数的体系，总能量对时间保持常数，即E是保守的。这样的体系叫做保守体系。4.3算符与量子力学：哈密顿算符HE：本征值：本征函数对于保守体系，经典力学的哈密顿算符单纯用坐标和共轭动量来表示总能量。对于笛卡儿坐标x，y，z，共轭动量是线动量在x，y，z方向上的分量px，py和pz，即：zzyyxxmvpmvpmvp;;)(22xVmpHx)(2ˆ222xVdxdmH考察一个质量为m，作一维运动，并受到势能V(x)的粒子。经典力学的哈密顿函数：量子力学的哈密顿算符：其本征值为体系能量的可能值这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等）与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的量子力学算符。问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经典力学表示。第二步：做以下变换：笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：qqˆqiqiiqipq2ˆ对应于坐标的算符是乘以坐标：zzyyxxˆˆˆ线动量分量的算符：zipyipxipzyx对应于的算符：2qp2222222222222zpypxxixixipzyx例:注：微观体系中，有些力学量并不存在对应的经典力学量，如自旋，此时就不能用上述规则“造”算符，而只能以实验新发现的力学量性质为依据去“造”算符。一维粒子的动能、势能和能量的算符表示势能V的算符表示：假定势能的函数表示为：，将x代之以x•则势能算符为：2)(axxV2)(ˆaxxV一般而言，对于任意的势能函数，有)()(ˆxVxV经典表示式为：mpTx2/2将代之以相应的算符，得到：xp22222222ˆdxdmxmT动能T的算符表示：经典力学的哈密顿量为：量子力学哈密顿（或能量）算符为：VTH)(2ˆˆˆ222xVdxdmVTH这与不含时间的薛定谔方程一致。能量H的算符表示：)()()](2[222xExxVdxdm量子力学算符与体系对应的性质的关系若是的具有本征值的本征函数，则有：iFˆiaiiiaFˆ（下标i表示有一整套可能的本征函数和本征值，i=1,2,3,…）假设本征值ai是体系的性质F仅有的可能值，则性质F的一次测量必将得到ai值之一。iiiEHˆiiiExVdxdm)](2[222由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。例如：体系能量仅有的可能值是能量（哈密顿）算符的本征值。满足：利用哈密顿算符，对一维一粒子体系得：量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F的知识呢？假设：若Ψ是算符F的具有本征值ai的本征函数，则性质F的一次测量肯定得到值ai。例1：考虑能量：假定体系处于定态，具有完全波函数:)(),(/xetxiEt问：是能量算符的本征函数吗？),(txHˆ)(ˆ),(ˆ/xeHtxHiEt不含对时间的导数，于是有：Hˆ),()()(ˆ),(ˆ//txExEexHetxHiEtiEt所以，对一定态，Ψ是的本征函数，并且当测量能量时，肯定得到E。Hˆ例2：考虑动量：kpxˆkdxdi/ikxAe式中A是一任意实数。对于大的|x|要保持φ有限，本征值k必须是实数。这样，px的本征值为所有的实数，即：k动量算符中虚数i的出现可以保证本征值是实数。)sin()2(),(2/1/lxnletxiEt2228/mlhnE例3：考虑一维箱中一粒子的动量：态函数：能量：问题：px有一定的值吗？即是的本征函数吗？),(txxpˆ)cos()2()sin()2(ˆ2/1/2/1/lxnleilnlxnlexipiEtiEtx解：不是的本征函数。),(txxpˆ所以：2222/1/22222/1/22224)sin()2()sin()2(ˆlhnlxnlelnlxnlexpiEtiEtx2ˆxp态函数与的关系？所以，当粒子在量子数为n的定态时，的测量总是给出的结果。2ˆxp2224lhnmPTVTHx2ˆˆˆˆˆ222228/2ˆˆmlhnEmpEHx22222224822ˆlhnmlhnmmEpx一维势箱中的情况与上式一致。lnhpx/21小结：性质F的一次测量给出的结果只能是算符的本征值之一。Fˆ若态函数Ψ是算符F的具有本征值a的本征函数，在此状态Ψ下，测量F时肯定得到a。若Ψ不是算符F的本征函数，测量时仍得到算符F的本征值之一，但不能说一定得到哪个本征值，得到每个本征值的概率是可以预言的。HtiˆEHˆ4.4三维多粒子的薛定谔方程一维一粒子体系的算符形式可以推广到三维多粒子体系。假设态函数随时间变化的含时间的薛定谔方程为：能量本征函数及本征值的不含时间的薛定谔方程为：),,()(21222zyxVpppmVTHzyx),,()(2ˆ2222222zyxVzyxmH2222222zyx三维一粒子体系经典力学的哈密顿函数：量子力学的哈密顿算符：EVm222不含时的薛定谔方程)(21...)(21)(21)(21222222322222221333222111nnnzyxnzyxzyxzyxpppmpppmpppmpppmT三维n粒子体系令粒子i具有质量m及坐标（xi，yi，zi），i＝1，2，3，…，n动能是每个粒子的动能之和：动能算符：)(2...)(2222222221221221212nnnnzyxmzyxmT2122ˆiniimT)2222222iiiizyx),,,.......,,,(111nnnzyxzyxVV),......,(2ˆ1212niniizxVmH限于势能只与n个粒子的3n个坐标有关的情况：三维n粒子体系的哈密顿算符：不含时间的薛定谔方程：EzxVmninii),......,(21212dxdydztzyx2|),,,(|1||2dxdydzdxtx2|),(|概率（玻