经济数学微积分 第二版第四章 第三节 导数的应用

一、函数的单调性二、函数的极值四、函数图形的描绘第三节导数的应用三、曲线的凹凸性与拐点五、小结思考题一、函数的单调性(monotonicity)xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xf定理.],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1.),(],[)(上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；在，那末函数内如果在）（内可导上连续，在在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfyabBA1．单调性的判别法证),,(,21baxx,21xx且应用拉氏定理,得)())(()()(211212xxxxfxfxf,012xx,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调增加在baxfy,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调减少在baxfy例1解.1的单调性讨论函数xeyx.1xey,)0,(内在,0y函数单调减少；,),0(内在,0y.函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．).,(:D又2．单调区间(monotonicalinterval)求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在一些部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:.,)()(0)(内导数的符号然后判断区间的定义区间点来划分函数不存在的的根及用方程xfxfxf例2解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf).,(:D12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，解方程0)(xf.2,121xx时，当1x,0)(xf上单调增加；在]1,(时，当21x,0)(xf上单调减少；在]2,1[时，当x2,0)(xf上单调增加；在),2[单调区间为，]1,(，]2,1[).,2[例3解.)(32的单调区间确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3xxxf.,0导数不存在时当x时，当0x,0)(xf上单调增加；在),0[时，当x0,0)(xf上单调减少；在]0,(单调区间为，]0,().,0[32xy注意:区间内个某些点导数为零,不影响区间的单调性.例如,,3xy,00xy.),(上单调增加但在例4（等号仅在某些点成立！）,,sinxxxxf解0cos1)(xxf上单调增加在所以,sinxxxxf例4证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf则上单调增加；在),0[,0)0(f时，当0x,0)1ln(xx).1ln(xx即3．利用单调性证明不等式0,0,afafxfafafxf或使思路：构造函数，(0,)()0,fx可()[0,)fx在上连续，且在导，二、函数的极值(extremum)oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x1．函数极值的定义.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,,),(,),()(000000000的一个极小值是函数称就均成立外除了点的任何点对于这邻域内的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数称就均成立外除了点的任何点对于这邻域内的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.2．函数极值的求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那么必定0)(0'xf.定理1(必要条件)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x(不是极值点情形)xyoxyo0x0x(是极值点情形)例1解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx593)(23xxxxfMm图形如下设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理3(第二充分条件)证)1(xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0异号，与故xxfxxf)()(00时，当0x)()(00xfxxf有,0时，当0x)()(00xfxxf有,0所以，函数)(xf在0x处取得极大值．同理可证(2).例2解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.4820243)(23xxxxf图形如下Mm注意:.2,)(,0)(00仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf例3解.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在时当xfx时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xf注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M求极值的步骤:);()1(xf求导数的根）和不可导点；找出驻点（即方程0)()2(xf；第一充分条件不可导点；第一充分条件第一或第二充分条件驻点判断：00)3(00xfxf..)4(00axaxf或注意格式结论三、曲线的凹凸性与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoABC1．曲线的凹凸性(concaveorconvex)xyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方定义．的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在那么称如果恒有的（或凹弧）上的图形是（向上）凹在那么称恒有点上任意两如果对上连续在区间设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,,,)(2121212121;)(],[)(,)(),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那么称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果baxfbabaxf1．凹凸性的判定xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理1.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf123132例1.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,2.曲线的拐点(apointofinflection)及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.定理2如果)(xf在),(00xx内存在二阶导数,则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0xf.①拐点的定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.②拐点的求法证,)(二阶可导xf,)(存在且连续xf,])([)(0两边变号在则xxfxf,))(,(00是拐点又xfx,)(0取得极值在xxf,条件由可导函数取得极值的.0)(xf方法1:,0)(,)(00xfxxf且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx.))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx例2.14334凹、凸的区间的拐点及求曲线xxy解),(:D,121223xxy).32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32().,32[],32,0[],0,(凹凸区间为方法2:.)())(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点是曲线那么而且的邻域内三阶可导在设函数xfyxfxxfxfxxf例3.)]2,0([cossin的拐点内求曲线xxy解,sincosxxy,cossinxxy.sincosxxy,0y令.47,4321xx得2)43(f,02)47(f,0内曲线有拐点为在]2,0[).0,47(),0,43(.)())(,(,)(000的拐点是连续曲线也可能点不存在若xfyxfxxf注意:例4.3的拐点求曲线xy解,0时当x,3132xy,9435xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0(3的拐点是曲线点xy四、函数图形的描绘如果函数f(x)的定义域上的某个小区间中（1）单调性已知；（2）凹凸性已知；（3）区间端点的位置已知或变化趋势已知；那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形．1．渐近线(asymptotes)定义:.)(,,)(一条渐近线的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷点时沿着曲线上的一动点当曲线xfyLLPPxfy(1)铅直渐近线)(轴的渐近线垂直于x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线就是那么或如果xfyxxxfxfxxxx(verticalasymptotes)例如,)3)(2(1xxy有铅直渐近线两条:.3,2xx(2)水平渐近线)(轴的渐近线平行于x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线就是那么为常数或如果xfybybbxfbxfxx例如,arctanxy有水平渐近线两条:.2,2yy(horizontalasymptotes)(3)斜渐近线(inclinedasymptotes).)(),(0)]()([lim0)]()([lim的一条斜渐近线就是那么为常数或如果xfybaxybabax