经济数学第1章1.2

1.2极限的概念1.2.1数列的极限万世不竭”。【案例1.3】中国古代《庄子·天下篇》一书中著有“一尺之棰，日取其半，112121161161818141413213210x00x从右从右,21,81,41,21n将每天剩余的木棒长度写出来就是数列：n21n无限接近于0。上述数列的特点：1）无穷数列；2）随着项数的增大，数列中项逐渐减少。可以看出：当无限增大时，我们再来分析以下数列的变化：nxn,,,3,2,1n即数列图示nxn1,1,,41,31,21,1n即nnx)1(,)1(,,1,1,1,1n即数列nn1趋近于常数0；随不断增大，无限n)1(一常数；随n不断增大，数列在-1与1之间来回摆动，不趋近于任n随不断增大，n数列无限增大。定义1.7)(limnAxAxnnn或nxnxnA设数列，如果当无限增大时，无限趋近于某个确定的常数，则称常数A为数列nx当n趋于无穷大时的极限，记作并称数列nx是收敛的；否则，就称数列nx是发散的。例1.2.1解：观察下列数列的变化趋势，判断其是否存在极限。LL,1,43,32,21nn（1）123410100nxn0.50.660.750.80.9090..0.9900....123410100nxn0.50.660.750.80.9090..0.9090..0.9900....0.9900....11212154544343323265650x00x从左从左所以11limnnn236745325402761123451011100101nxn1.101.51.250.81.010.9090..0.9900.....0.66123451011100101nxn1.101.51.250.81.010.9090..0.9090..0.9900....0.9900.....0.66.0.66LL,)1(1,,45,32,23,0nn（2）（1）（2）1)1(1limnnn所以【课堂练习一】1．判断下列数列的极限是否存在？（1）12nxn（2）nnx21（3）3nx（4）nxnn)1(1.2.2函数的极限x1.当时函数的极限【案例1.4】xxf1)(考察函数的图像。xxf1)(从图中可以看出，当自变量xxx时的极限。的绝对值无限增大时，函数的值无限趋近于常数0，此时我们称常数0为函数xxf1)(当x时的极限；同样可分析与定义1.8x)(xfAx)()(xAxfAxfx)(lim（1）如果当的绝对值无限增大时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称常数A为函数)(xf当时的极限。记为或Axfx)(limx)()(xAxf（2）如果当x的负值无限增大时，函数)(xf无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数)(xf当时的极限。记为或xAxfx)(lim)()(xAxf（3）如果当x无限增大时，函数)(xf无限趋近于某个确定的常数A则称常数A为函数)(xf当时的极限。记为，解：例1.2.1xxfarctan)(xxx的极限。观察函数图像，分析当，，，22arctanlimxxxxfarctan)(当x时，函数无限趋近于常数所以，22arctanlimxxxxfarctan)(当时，函数无限趋近于常数所以xxxarctanlimxxfarctan)(当时，函数无限趋近于某一常数，所以x不存在。的变化如图所示，分析函数xxfarctan)(定理1.1Axfx)(limAxfxfxx)(lim)(limxxx)(xfA当时，函数以为极限的充要条件是函数)(xf当与的极限均为A。即【课堂练习二】1．观察下列极限是否存在，如存在请写出它们的极限。（1）21limxx（2）xx10lim（3）xx31lim（4）xxsinlim（5）xxcotarclim【案例1.5】影子长度的变化0xx)(xf2.当时函数的极限考察一个人沿直线朝路灯正方向走时，其影子长度如何变化？设人到灯正下方那一点的距离为yx将越来越短，即逐渐趋于0。，人的影子长为。显然当此人向目标行进时，x越来越趋向于0,其影子长度y【案例1.6】1x11)(2xxxf考察当时，函数的变化趋势。1x的值都会越来越趋向于2。当自变量从处的左边无限趋近于1与右边无限趋近于1两种情况，考虑函数11)(2xxxf定义1.9Axfxx)(lim0)()(0xxAxf或)(xfy0xx0xx)(xfA0xx（1）设函数在点本身可以除外），的某个邻域内有定义（点0x如果当自变量无限趋近于0x（但）时，函数无限趋近于一个常数，则称常数A为函数当时的极限。记为)(xf)(xfy0xx)(xfA0xx（2）设函数在点本身可以除外），的某个邻域内有定义（点0x如果当自变量从0x的左侧（小于的方向）趋近于时，函数，则称常数A为函数当时的左极限。记为0x0x无限趋近于一个常数)(xf或Axfxx)(lim0)()(0xxAxf)(xfy0xx)(xfA0xx（2）设函数在点本身可以除外），的某个邻域内有定义（点0x如果当自变量从0x的右侧（大于的方向）趋近于时，函数，则称常数A为函数当时的右极限。记为0x0x无限趋近于一个常数)(xf或Axfxx)(lim0)()(0xxAxf例1.2.2解：2x考察下列函数，写出当时函数的极限，并作图验证Cxf)(（1）2)(xxf（2）CCx2lim（1）4lim22xx（2）定理1.2AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000即0xx)(xfA0xx0xx当时，函数以为极限的充要条件是函数当与的极限存在，且相等，并均为A。)(xf例1.2.3解：0,10,)(2xxxxxf)(lim0xfx设函数，试判断是否存在。1)1(lim)(lim00xxfxx0lim)(lim200xxfxx因为所以不存在。)(lim0xfx例1.2.4解：因为2)3(lim)(lim11xxfxx2)1(lim)(lim11xxfxx所以2)(lim1xfx设函数1113)(x，xxx，xf)(xf1x，讨论函数处的极限。在【课堂练习三】1．观察图像，求下列极限。xxtanlim0（1）xxlnlim1（2）xxsinlim0（3）39lim23xxx（4）0,0,)(2xxxexfx)(lim0xfx（5）设，求0,10,cos)(xxxxxf（6）设，求)(lim0xfx在2,2,log)(2xaxxxxf2xa。2．设时极限存在，求数列极限【1.2小结】函数极限趋向于无穷的极限趋向于某点的极限)(limxfx)(limxfx)(limxfx)(lim0xfxx)(lim0xfxx)(lim0xfxxnxnlim习题19~11【作业】