霍金的虚时间

霍金的虚时间奇点是什么？1974年，年仅32岁的斯蒂芬·霍金发表了黑洞蒸发理论，其实早在4年前28岁时，他就曾经提出过膨胀宇宙的奇点定理：在宇宙的初创期不可避免地存在着奇点。前文讲过，在通常黑洞的中心存在着奇点，在旋转黑洞的赤道上存在着环状的奇点。在介绍黑洞、大爆炸、大塌缩的读物里，‘奇点’这个陌生的名词频频出现。既别扭又难懂，难道就找不到其它的表达方法吗？读者们大概都有这样的抱怨。但是，我们只能原样照搬地使用这个数学名词。所谓奇点，浅显易懂地说（也许笔者的解释并不浅显易懂），是一个非常奇特的点，它存在于黑洞中以及大爆炸的起始点、大塌缩的终结点。在数学上，当分数的分子为有限值，而分母变成零时，或者三角函数里的正切函数tanx当x成为90度时的值都是无穷大。当x从89度开始渐渐接近90度时，tanx的值就无限地接近正无穷大；反过来当x从91度开始一点点地变小接近90度时，函数值将无限地接近负无穷大；当x正好是90度时，函数值（的绝对值）为无限大，无法判定其正负。数学上的奇点就是如此奇妙的点。虽然简单地使用了无穷大，但是笔者个人认为这样的数在物理学里是不存在的……人们为了进行加减乘除开平方等各种数学计算，引入了分数、无理数、负数等等，但是无论什么数都不许被零除，在每一所学校里教师都这样严格地教导学生。无穷大只是嘴上说说而已，实际中从不使用。比如：我们说宇宙的大小为150亿光年，尽管极为广阔，但绝不是无穷大。笔者认为，把数学套用到物理的现实世界时，所谓无穷大的数只是不得已而暴露出的不真实的数值。尽管是不真实的数值，如果它能够给我们带来方便的话，用之也无妨。下面举个简单的例子。在物理问题中经常出现‘有个质量为m的点’之类的用词，质点是为了把力学问题简化而设想的非现实的点状物体，常有脑子好用且爱钻牛角尖的学生提出‘那个质点的密度是多大？’的问题，令教师为难，最合适的回答也许是‘不考虑质点的密度’。事实上正是因为所处理的问题不涉及密度，我们才放心地把‘质点’的概念引入力学之中。在物理学里，对于（认真去分析的话）很奇怪的概念，只要我们不是直接地研究它，通常都采取默认的态度，这样的事例很多。当其影响不可避免时，则重新修正我们的思考方式。质点是力学中的约定俗成的概念。当我们分析发生在时空中的电子-光子相互作用时，也会出现刚才说过的无穷大的困难，该困难至今仍未得到完美的解决。奇点真的存在吗？接下来我们要讨论的问题是霍金等人指出的宇宙的奇点。对于不带自转的黑洞来说，视界或者说史瓦西半径以内的任何物质（包括光）都不可能跑出来，它们都落向中心点。黑洞大概是密度极高的球状物体……我们很愿意这样去想像，但它也可能是由中子星进一步缩聚而成，仍然保持着天体的形状。总之，黑洞的形状无人知晓。原因在于，谁也无法知道黑洞之中究竟是什么状态。从它的外面来想像，我们只知道中心的引力值是无穷大，所以不妨认为黑洞内部的质量全部集中在中心点上。由于引力强的地方空间弯曲得也厉害，随着接近中心，弯曲程度也愈来愈激烈。假如在不带自转的正球形黑洞里，空间将一下子靠向中央（那里的情景很难打比方，也很难想像），并且急剧地弯曲起来。在任何曲线的任何部位上，只要取无限短的一小段，都可以将其视为某个圆弧的一部分，圆的半径越小，曲线在该处的弯曲程度就越大。我们乘火车时，在转弯处的铁路旁边经常能够看到标有转弯半径的标记，列车的设计时速越高，所要求的最小转弯半径就越大。我们将半径的倒数（1除以半径）叫做曲率，曲率越大，曲线越弯曲。新买来的蚊香是由二根盘成一片的，二根都从外缘盘向中心，由外向内，曲率越来越大。不过蚊香比较粗，如果是一根细线紧密地盘向中心点的话，在终点处曲率的理论值将成为无穷大，在到达终点前需要绕无数圈。重要的是，在黑洞的中心引力为无穷大，空间曲率（谁也无法想像三维空间如何弯曲）也是无穷大，因此该点被称为奇点。奇点是作为数学上的极限被提出来的，在现实世界里那样的东西是否存在呢？如果数学计算的结果令我们不得不承认黑洞的中心是奇点的话，落入黑洞中的物质在到达奇点之前或许经过蛀洞从另一侧的白洞飞了出来……这种解释也许能成立吧。霍金的思想彭罗斯和霍金以前的理论研究认为：宇宙始于大爆炸终于大塌缩，即宇宙从奇点创生并且终结于奇点。在奇点处物理定律失效，所以有关初始及终结的问题被排除到了物理定律的适用范围之外，但是对于从不回避实际问题的科学家来说，在感情上不能容忍奇点这样的超现实的东西。在数学上碰到奇点时，总是想方设法绕道而行，换句话说，绝对不承认分母为零的事情。大家可以从稍后的介绍看出，霍金的思想正是如此。霍金为了调查宇宙从大爆炸到大塌缩的路径，使用了一种特别的数学手段——路径积分。最先使用这种方法的人是擅长用画图的手段求解物理问题的美国物理学家理查德·费曼，他与朝永振一郎、施温格共同获得了1965年度诺贝尔物理学奖。当时朝永与施温格用数学公式完成了量子电动力学的理论体系，费曼用方便易懂的图解方法（横轴为空间，纵轴为时间）进行了同样的工作。费曼图被广泛运用于物理学的各种领域，它表示了研究对象怎样从过去演变到未来，例如电子放出或吸收光子的过程，费曼用直观的视觉反映了自己的研究。因此，某个物体从A地点（或状态）过渡到B地点（或状态）时，其中过程是怎样变化的即沿哪一条路行进的呢？费曼擅长用图研究这类问题。大家可能感到路径积分是先通过图进行分析然后再把分析过程数学公式化的方法。路径积分已经成为理论物理学的最重要的手段之一。实际上，有关路径积分的计算是非常繁琐的，例如时间积分就有无限多种组合方法。下面的例子也许不一定适当，为了便于理解还是请大家一起来看一下。路径积分指出光的路线光在真空中（如果忽略引力的影响）沿直线传播。在空气中，由于各处空气的浓淡不同，光有时会弯曲，原因在于光在浓的空气里传播速度会降低。假如考虑从A地到B地的光总是选择所需时间最短的路径的话，当大气的浓淡分布非常复杂时，利用路径积分方法能找出其中的捷径。如图5－3，假定光从A地出发越过海湾到达B地，A与B之间能够引出无数的连线，我们任取一条来计算光所需的传播时间，先求从A到它附近A1点所需的时间、沿着连线再求从A1到附近A2的时间、再求从A2到A3的时间……如此类推，先分段计算最后求和。因为每一处的光速都不一样，所以尽管很繁琐但是却没有别的办法。由于是对AB间的路径求和，所以称为路径积分。为找出最短路径，需要将无数的路径积分进行比较。实际上，科学家们使用了一种叫做变分法的数学手段，非常巧妙地求出效率最佳的一条路线，光将沿着该路线从A传到B。海水温度低，贴近海面的空气比较冷，密度较高，而上空则比较暖和，空气密度也较低，所以光线实际上是从A出发沿着一条曲线到达B地的，海市蜃楼现象就是这个道理。力学里也有类似的叫做最小作用原理的方法。在物理学的研究物质基本性质的分支——基本粒子物理学中，路径积分法是非常有效的方法。不过，适用于基本粒子论的路径积分必须符合量子力学的要求。量子力学原本就是把所有的可能性都加以综合考虑的理论，所以在AB间的任何路线上都存在光通过的可能性。霍金利用了这种数学手段，用量子力学的观点计算路径积分，分析了宇宙的路径——宇宙的演化过程。为了消奇点彭罗斯与霍金起先也认为宇宙起始于奇点、终止于奇点，从现在的宇宙向过去追溯的话，总会到达‘再没有以前’的一点——奇点，后退的终点也就是宇宙时间的起点，在该点上，质量为无穷大、弯曲为无穷大、其它的基本物理量都是无穷大，令物理学家们无从下手。宇宙似乎确实存在着起点，但是，宇宙是怎么开始的？在开始之前是什么样子？一切都笼罩在迷雾之中。这些奇怪的概念都是爱因斯坦的广义相对论的必然推论，使人感到很无奈。但是，霍金并没有因此放弃努力，他把量子理论用到路径积分里发展了原来的路径积分方法，提出了‘无境界’宇宙模型。霍金勇敢地否定了自己以前提出的奇点定理，找出了回避奇点这个数学疑难的方法。不过，无境界宇宙也不是个一提就懂的概念。虽然时空不可分割，为了便于理解，这里只考虑时间，所谓无境界就是没有任何断头的意思，霍金的结论用另一种说法来说就是：任何时候都存在时间，即使在大爆炸之前或大塌缩之后也不例外。霍金的宇宙模型是个象地球一样的球形，球的表面代表宇宙空间，北极点对应于大爆炸。宇宙从北极点开始，球的纬度对应于宇宙的大小，随着时间的推移，宇宙逐渐沿北纬80度圈、70度圈、60度圈……的方向扩大，现在是宇宙诞生后大约150亿年，大致相当于北纬40度附近，再过100亿年左右宇宙将膨胀到最大状态——赤道上，然后转入收缩，进入地球模型上的南半球，最后是大塌缩，即模型上的南极点。用地球来打比方是为了便于大家理解，重要的是：不把北极点和南极点当作特殊的点。的确，从几何学的角度看，极点与表面的其它部分完全相同。当然，地球的南、北极是自转的轴，按照纬度的定义，它们分别对应于南、北90度。霍金的宇宙模型里的南北极没有任何特殊的构造。霍金与哈特尔一起消除了大爆炸和大塌缩的宇宙奇点，用地球来比喻他们的模型再恰当不过了，无论是在北极还是在南极都不存在无穷大或者其它的特殊因素。大爆炸之前虚数时间如果将宇宙比作地球的话，最初的大爆炸就相当于北极点，请读者容忍一下接受这个说法。霍金在使用路径积分法的同时把时间虚数化（关于虚数我们将在下一小节详细介绍），从而化解了时间的境界。各位一定会问，这到底是怎么回事？用地球作比喻的话，大爆炸以前的宇宙对应于哪个部位呢？难道存在比北极点更‘北’的地方吗？答案是，用路径积分法确实能够使时间的境界消失，由于大爆炸以前的时间是个虚数，所以无法用图或模型来表示。这里又冒出来一个叫做虚数的讨厌的数学概念，使用数学武器求解物理问题时，难免会陷入这样的窘境。不管怎样，按霍金的办法去做的话，就会出现‘过去存在过虚时间’这样的事情，如果我们把过去看成虚时间的话，就可以不带奇点地‘平坦地’解释宇宙的初始与终结。笔者绝对没有抬出虚数为难大家的意思，不过，在继续我们的话题之前有必要介绍一下虚数的概念以及它‘在实际问题中所代表的含义’。不曾存在的东西……平方后等于负1的数称为虚数，用i表示。i的3倍记为3i、7倍记为7i，它们都是虚数。1与－1的平方都是1，平方为－1的数原本是没有的，虚数是在‘如果有的话’的前提下提出的概念。由实数和虚数组合成的数叫做复数，复变函数是专门研究复数的数学分支。把不曾有的数当做仿佛真的存在一样地去研究，这样做未尝不可以。我们再多举些数学味道更浓的例子，比如arcsins（正弦值为5的角的数’。引入i的概念以后，对arcsin5之类的怪数也可以进行计算与分析，只要容忍i，就可以对其它的怪数置之不理，进行漂亮的数学处理。我们是不是对i太迁就了呢？笔者建议对数学感兴趣的读者思索一下这个问题。如果您认为它不公平的话，就请您自己消除这种不公，创造一门新的数学分支。只将虚数i数学系统化是有其充分理由的，复数可以适用于从加减乘除四则运算到微分积分的各个数学领域，‘可以不矛盾地数学系统化’。3＋2i与5－4i的和是8－2i，其它的演算也一样没有问题。虽说从现实观点看，初始的i本身是个奇妙的数字，但只要承认它的存在，其它方面就可以万事大吉。有点象非欧几何的情形：只要承认‘通过一点可以画出一条直线及其平行线’的非欧几里德公理，就不会遇到其它的矛盾。不过非欧几何可以应用于球面，它具有实际的意义。草率。问题是其它的数学计算无法进行，如果对于除了i以外的其它不存在的数，数学法则也能够成立的话，数学家们应该早就把它形式化了。所以人们引入了叫做i的虚数，它冠冕堂皇地进入了教材并成为数学家的研究对象。实数就是一切数学是以公理为基础、没有矛盾地拓展的理论，而物理学则是以自然界为研究对象的学问。由于物理学中常常定量地分析事物，所以大量地借用了数学家们所设定的数及其演算规律。不过，物理学家从未向数学家支付过专利费（或使用费），因为数学的发展很大程度上依赖于物理学的需要，两门学科相辅相成。现在的问题是，物理学怎样看待虚数i。长度是最单纯、最直观的物理量之一，为了表达长度，人们定义了基本单位——1米，因此有了物体的长度为7米、0