清华概率统计课件(第五章 二维随机变量及其分布)

概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系1第五章二维随机变量及其分布概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系2第一节二维随机变量及其分布函数概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系3一、二维随机变量12(),(),()nXXX定义：若，是定义在同一样本空间n上的个随机变量，12()((),(),())[].nXXXXn则称，为维随机变量向量如在研究儿童的发育时，涉及到身高和体重两方面的问题，在研究家庭的收支时则涉及更多个方面的因素.与一维随机变量的研究类似，我们也把随机变量分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连续型的随机变量.概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系4二、二维随机变量的分布函数(,),,,XYxyR定义：设有二维随机变量对称概率(,)(,).PXxYyXY为随机变量的联合分布函数(,),(,)(,).FxyFxyPXxYy记作：即注：联合分布函数表示两个事件同时发生的概率.(,)(,)(,)FxyXYxy联合分布函数表示随机点落在点.的左下方的无穷矩形区域内的概率(,)xyXY概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系5三、二维联合分布函数的性质单调性:有界性:右连续性:非负性:1212(,)(,);xxFxyFxy1212(,)(,).yyFxyFxy0(,)1;Fxy(,)0,Fy(,)0,Fx(,)1.F(0,)(,),FxyFxy(,0)(,).FxyFxy(,)PaXbcYd(,)(,)(,)(,)0.FbdFadFbcFac注意：上述四条性质是联合分布函数的充要条件.概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系6关于非负性的补充说明：(,)PaXbcYd(,)(,)(,)(,)0.FbdFadFbcFacXYabcdADCB(,)(,)PaXbcYdXYABCD表示在正方形内取值的概率；按照分布函数的定义，这个概率又可以表示为(,)(,)(,)(,)FbdFadFbcFac(,)(,)(,)(,)0.FFbdFadFbcFac因此必须满足：概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系7例1〔反例〕：函数不满足非负性，故不能作为二维随机变量的分布函数.0,0;(,)1,0.xyGxyxy(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)GGGG11101.(11,11)1.GPXY如果是分布函数，则3事实上，存在函数满足分布函数的前条性质，但不满足非负性：()Gx易见：满足单调性、有界性和右连续性，但是*概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系8例2设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为解：由分布函数的性质可以得到(,)(arctan)(arctan),FxyABxCy,,(,).ABCxy数求常lim(arctan)(arctan)xyABxCy()()22ABC1lim(arctan)(arctan)xABxCy()(arctan)2ABCy0lim(arctan)(arctan)yABxCy(arctan)()2ABxC021,A.2BC概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系9第二节二维离散型随机变量概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系10一、二维离散随机变量对于二维随机变量(X,Y)，如果X和Y都是离散型随机变量，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。(,)XY定义：设二维随机变量的可能取值为,,,1,2,3,.ijXxYyij(,),,1,2,ijijPXxYypij则称(,)XY为二维随机变量的联合分布列.或用下列的表格形式来表示.概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系11111212122212jjiiijpppppppppXY1x2xix1y2yjy二、二维随机变量(X,Y)的联合分布列联合分布列的基本性质非负性：正则性：0ijp111ijijp概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系12例1一口袋装有3个球，分别标有数字1，2，2.从袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球.记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.(1)(,)XY求的联合分布列；(2)().PXY计算概率分析：与求一维分布列一样，确定取值，计算概率.乘法公式.,12.XY解：的可能取值都是和(1,1)PXY0；(1,2)PXY11313；(2,1)PXY213213；(2,2)PXY21321.3概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系13(1,1)01(1,2)3PXYPXY；；(1)(,)XY的联合分布列为12110311233XY(2)()PXY1(2,1)31(2,2).3PXYPXY；(1,1)PXY(2,1)PXY(2,2)PXY110332.3概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系14例1*一口袋装有3个球，分别标有数字1，2，2.从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球.记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.(,)XY求的联合分布列.(1)PX(1)PY1,3(2)PX(2)PY2.3,XY独立(,)()().ijijPXxYyPXxPYy121219924299XY概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系15例2从1，2，3，4中取一数记为X，再从1，…，X中取一数记为Y，求（X,Y）的联合分布列及P(X=Y).,XY解：的可能取值都是1,2,3,4.(1,1)PXY(1)(11)PXPYX111;44(2,1)PXY(2)(12)PXPYX111;428(3,1)PXY(3)(13)PXPYX111;4312(4,1)PXY(4)(14)PXPYX111;4416…………………………概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系16(,)XY的联合分布列为12341100041120088111301212121111416161616XY()PXY(1)(2)(3)(4)PXYPXYPXYPXY111125.48121648概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系17.*联合分布列联合分布函数12110311233XYxy1221(,)Fxy1,1xy或0,1/3,12,2.xy1/3,12,2.yx0,12,12.xy1,2,2.xy且概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系18第三节二维连续型随机变量概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系19一、定义定义：如果存在二元非负可积函数p(x,y)，使得二维随机变量（X,Y）的分布函数F(x,y)满足则称（X,Y）为二维连续随机变量，p(x,y)称为（X,Y）的联合密度函数.(,)(,).xyFxypuvdudv注：在F(x,y)偏导存在的点处有：2(,)(,).pxyFxyxy二、基本性质非负性：正则性：(,)0;pxy(,)1.pxydxdy概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系20即密度函数在指定平面区域G上的二重积分.三、概率计算补充说明：类似地，可以定义更高维的连续随机变量及其联合密度函数.并且，密度函数与分布函数有着相似的关系；其概率计算也与二维随机变量类似.(,)(,),(,)(,)XYpxyAXYXYG设的密度函数为，()((,))(,).GPAPXYGpxydxdy则概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系211.(,)XY例设的联合密度为236,0,0;(,)0,xyexypxy其他.(1)(1,1);(2)().PXYPXY求：11G1(1)(1,1)PXY12310[6]xyedxdy23(1)ee0.0430.G2(2)()PXY2300(6)xxyedydx3.5概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系22四.常用二维分布1、二维均匀分布：(,)XY如果的联合密度函数为：1,(,),(,)0,(,)xyGSGfxyxyG若若．(,).XYG则称服从区域上的均匀分布{(,):,}Gxyaxbcyd特别地，若，则1,,,()()(,)0axbcydbadcfxy，其他．()GSG设是平面区域，为其面积，概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系232、二维正态分布：ρ22221212(,)exp212π1uufxyvv1122,(),().uxy其中v12125.在其密度函数中含有，，，和个参数221212,,,EXEYDXDY；11XY，表示、的相关系数.概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系24例2设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，求(X,Y)的联合密度函数.解：区域G如图所示，故(X,Y)的联合密度函数为01,Gxyx其中，1()1SG且有，1,01,;(,).0,.xyxfxy其他概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系25第四节边缘分布概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系26一、边缘分布函数(,),XYXx对于二维随机变量随机事件即是指,,XxY(,)XY因此由的联合分布可以确定,X的分布(,)FxyX即由可以确定的分布函数.(,)(,)XYFxyX称由的联合分布函数所确定的的分布(,)XYX函数为关于的边缘分布函数，().XFx记作()()XFxPXx即：(,)PXxY(,).Fx(),YYFy同样可以定义的边缘分布函数()()YFyPYy(,)PXYy(,).Fy概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系271.(,)(,)(arctan)(arctan),XYFxyABxCy例设,()().XYXYFxFy求的边缘分布函数和21,.2ABC解：利用分布函数的性质可求：()(,)XFxFx21lim(arctan)(arctan)22yxy1(arctan)2xx，；()(,)YFyFy21lim(arctan)(arctan)22xxy1(arctan).2yy，概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系28补充说明1、由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.2、类似可定义三维随机变量（X,Y,Z）的边缘分布函数.3、由联合分布还可以反映X和Y的关系，这也是研究多维分布的原因所在.4、对联合分布与边缘分布关系的研究，同样分离散和连续型两种随机变量.概率论与数理统计2020/1/20皖西学院数理系29二、边缘分布列对二维离散型随机变量(X,Y)，联合分布列为则(X,Y)关于X的边缘分布列为(X,Y)关于Y的边缘分布列为注:(X,Y)的联合分布列与边缘分布列的关系，通常可以用下面的表格来反映.(,),,1,2,ijijPXxYypij(),1,2,iiijjPXxppi(),1,2,jjijiPYyppj概率论与数理统计2020/1/20皖西