06-07高数期中试题_下)

一、填空（共27个，每空3分，共81分）机动目录上页下页返回结束221.(,,)arccoszfxyzxy的定义域222222{(,)|,0}xyxyzxyxy2222.(,,)33261,fxyzxyzxyxyzfffxyz设则在点(1,1,1)处23,22,66,fffxyyxzxyz06-07高数（下）期中试卷7机动目录上页下页返回结束2223.(,)224100,zfxyxyzxyzzx设由方程确定则22240zzxxzxx方程两边对求偏导22224.(,),(,)[(,),(,)]fxyxyxyxyffxyxy设,则12zxxz22[(,),(,)](,)(,)ffxyxyfxyxy22222244()()22xyxyxy机动目录上页下页返回结束225.(),sin,cos,,(00)zyyzfuvfuexvexzxyd设其中具有连续导数,函数对于自变量在，点处的全微分2222()uvuvzxxfuvxuv2222coscos()yxuexveyfuvuv2222()uvuvzyyfuvyuv2222sinsin()yxuexveyfuvuv(0,0)(1)zfx(0,0)0zy(1)dzfdx机动目录上页下页返回结束226.3uxyx函数在点(1,1)处沿与轴正方向成角方向的方向导数为27.(1,1,2)uxyzP在点处方向导数的最大值是13ul2,2uuxyxy(1,1)(1,1)2,2uuxy13{cos,cos}{,}2222,2,uuuyzxyzxyxyz2,4,1PPPuuuxyz21机动目录上页下页返回结束238.,,(3,9,27)xtytzt曲线在点处的切线方程是21,2,3tttxytzt3,{1,6,27}t时方向向量为39271627xxx切线方程为机动目录上页下页返回结束9.321zezxy曲面在点(,,0)处的切平面方程,,1zxyzFyFxFe3zFezxy令(2,1,0)2点的法向量为(1,,0)22(1)0xy切平面方程为240xy即机动目录上页下页返回结束122222D10.D:14,()xyxyd设则12222201()Dxyddrrdr321114233rD11.D:3,1,()xyxxyd设则2()DDxxydxd124Dxd312004xdxdy33014363x机动目录上页下页返回结束0012.(,)(0)axdxfxydya二次积分,其中交换积分次序后的形式是0(,)aaydyfxydx原式积分区域如图oaa解：积分区域如图机动目录上页下页返回结束2ln1ln(,)exxdfxydy积分区域为2:1,lnlnDxexyx2202-2013.(,)(,)yyeeeedyfxydxdyfxydx二次积分交换积分顺序后的形式是2e221o机动目录上页下页返回结束222214.1,4xyzzdv设：则的值是1221zDzdvzdzd12214(1)zzdz12408()zzdz1615机动目录上页下页返回结束222222215.:1()xyzxyfxyzdv设,则三重积分化成球坐标系下的三次积分是积分区域如图223cossin4zxyrr由锥面方程=-21223004()sinddfrrdr22211zxyxyz22由得1r机动目录上页下页返回结束2316.:11,01,01,[sin2]yxyzexdv设则的值是21113100[sin2]24yexdvdxdydz机动目录上页下页返回结束22217.zxyzx锥面被柱面所割下部分的曲面面积为2211()24XOYxy在面投影区域22222zxxyxzxy解由消去z得2222,zxzyxyxyxy22zxy2222221()()xyDxyAdxyxy2xyDd24机动目录上页下页返回结束222118.A1)2B2222Lyxxxdxdyyy设L是从点(,沿曲线到点(,)的弧段，则曲线积分的值是222,xxPQyy积分与路径无关22PxQyyx21221221Lxxdxdydyxdxyyy22=2221121102xy=机动目录上页下页返回结束22219.1LLxyxdS为的一周,则的值是221,11dyxdSydxdxdxyx2122121LxxdSdxx2sin20sin4coscosxtttdtt202(1cos2)tdt20sin2t机动目录上页下页返回结束2222220.xOyL(0),),,.xyxyaaxye曲线细杆在面所站位置为曲线：在第一象限的弧段，其线密度（其质量的积分表达式为其质量为222222,,xayaxydsdxaxax22xyLMedS0arcsin2aaaxaeaea220aaaedxax22xyLMedS机动目录上页下页返回结束(1,2)43-124(0,0)21.(4)(6-5).xxydxxyydyI设曲线积分与积分路径无关，则，的值为QPxy解：积分与积分路径无关431244,65PxxyQxyy22212,6(1)PQxyxyyx31242400(65)Ixdxyydy795机动目录上页下页返回结束22222.:1(1,0)(0,1)(1,0)yLLxyAEBedy设上从经到的曲线段，则的值为23.cos,sin,,02tttxetyetzetL空间曲线从变到的这段弧的弧长20,,0yQPPQexy令203tLedt22033(1)teecossin,sincos,ztttttxetetyetete0,:11AByx取直线路径：20yLedy机动目录上页下页返回结束222224.2()()zxyxOyxyds设是抛物面在面上方的部分，曲面积分的值为222222()()14()xyDxydSxyxydxdy2,2zzxyxy22221()()14()zzdSdxdyxydxdyxy2222001+4rdrrdr2321t1tt4d149302114,4rtrdrtdt机动目录上页下页返回结束222222225.,()sxyzRxyzd设是球面曲面积分的值为2222()ssxyzdRd22444RRR二（6分）机动目录上页下页返回结束2232(38)(812),(,1)sin00212yLIxyxydxxxyyedyLAyxII设其中是从点沿曲线到原点（，）的曲线弧段，（）将化为对弧长的曲线积分；（）计算的值:sinxxLyx解：221cos1,cos,,1cos1cosxTxTxx22322(38)cos(812)1cosyLxyxyxxxyyeIdsx机动目录上页下页返回结束2(2)316PQxxyyx12::10,::0202xxxLAByLBOxyyy取0321[()8()12]22yIyyedy32128三（6分）机动目录上页下页返回结束222212,202,zzzzuxyvxyyxyyuv设,将方程变换成以为自变量的方程，其中函数具有二阶连续偏导数zzzxuv解：1()zzzyuvy22222222zzzzxuuvv22223222211211()()2zzzzzzyvuuvvuyyyyy20zuv代入得:机动目录上页下页返回结束2221xyz四（7分）求球面上在第一卦限的一点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。222:(,,)1Fxyzxyz解令000M(,,)xyz点处的法向量可取n=000000111/1/1/xyzxxyyzzxyz切平面方程即222000111dxyz满足2221xyz222222111(1)Gxyzxyz+机动目录上页下页返回结束111在点(,,)取最小值3331,93xyz解得33322222022022010xyzGxxGyyGzzGxyz222222111(1)Gxyzxyz+