第六章第一节幻灯片

一、集合1.集合的定义集合集合是数学中最基本的概念之一，它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解释.所谓集合是指由一些确定的对象(或事物)汇集成的整体，其中每个对象叫集合的元素.通常用大写字母A，B，X，Y等表示集合，用小写字母a,b,x,y等表示集合的元素.如果元素a在集合A中，就说“a属于A”，记作aA；如果元素a不在集合A中，就说“a不属于A”，记作aA.2.集合的表示法集合的表示法有两种：列举法和描述法.列举法:把集合中的元素一一列举出来.例如，设M是由数1,2,3组成的集合，则M可记为M={1,2,3}.描述法:即用集合中全部元素所具有的特征性质来表述集合.其格式是M={a|a具有的性质}.例如，适合方程12222byax的全部点的集合M可写成.1|),(2222byaxyxM又例如，两个多项式f(x),g(x)的公因式的集合可写成M={d(x)|d(x)|f(x),d(x)|g(x)}.3.空集合不包含任何元素的集合称为空集合,记为.例如，一个无解的线性方程组的解集合是空集合.把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不很一致，但是在数学上有好处，同时也不是完全没有道理的，正如把0也看作是数一样.4.两个集合之间的关系1)相等如果两个集合M与N含有完全相同的元素，即aM当且仅当aN，那么它们就称为相等，记为M=N.2)子集合如果集合M的元素全是集合N的元素，即由aM可以推出aN，那么M就称为N的子集合，记为MN或NM.例如，全体偶数组成的集合是全体整数组成的集合的子集合.按定义，每个集合都是它自身的子集合.我们规定，空集合是任一集合的子集合.两个集合M和N如果同时满足MN和NM，则M和N相等.3)交集设M，N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所组成的集合称为M与N的交集，记为M∩N.集合M，N的交集，用图示法可表示为如下的的阴影部分.MN图6-1例如，方程2x-y=1的解集合与方程x-2y=2的解集合的交集就是方程组22,12yxyx的解集合.又例如，设M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N={2,3}.显然有M∩NM，M∩NN.4)并集属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并集，记为M∪N.集合M，N的并集，所示的红色部分.MN用图示法可表示为如图设M={1,2,3,4},N={2,3,5},则M∪N={1,2,3,4,5}.图6-25)差集属于集合M而不属于集合N的所有元素组成的集合称为M与N的差集，记为M-N.MN集合M，N的差集，所示的红色部分.用图示法可表示为如图设M={1,2,3,4},N={2,3,5},则M-N={1,4}.图6-3二、映射1.映射的定义定义1设X，Y是非空集，所谓集合X到集合Y的一个映射就是指一个法则，它使X中每一个元素都有Y中一个确定的元素与之对应.记为()=，或：.称为在映射下的像，而称为在映射下的一个原像.M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换.注意：的像是唯一的，但的原像不一定是唯一的.2.映射的例子例1M是全体整数的集合，N是全体偶数的集合，定义(n)=2n,nM.这是M到N的一个映射.例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义1(A)=|A|，AM.这是M到P的一个映射.例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义2(a)=aE，aP.E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射.例4对于f(x)P[x]，定义(f(x))=f(x).这是P[x]到自身的一个映射.例5设A，B是两个非空的集合，b0是B中一个固定的元素，定义(a)=b0，aA.即把A中的每个元素都映射到b0，这是A到B的一个映射.例6设M是一集合，定义(a)=a，aM.即把每个元素映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为1M.例7任意一个定义在全体实数上的函数y=f(x)都是实数集合到自身的映射.因此，函数可以认为是映射的一个特殊情形.3.两个映射相等定义2设、都是集合M到集合N的映射，若对M中的每个元素a都有(a)=(a)则称它们相等，记为=.4.映射的乘积1)定义定义3设、分别是集合A到B和B到C的两个映射，乘积定义为()(a)=((a)),aA,即相继施行和的结果，是A到C的一个映射.例如，前面中映射的乘积12就是把每个n级矩阵A映到数量矩阵|A|E，它是全体n级矩阵的集合到自身的一个映射.对于集合X到Y的任一映射，显然有1Y=1X=.2)运算规律映射的乘法满足结合律.设、、分别是集合A到B，B到C，C到D，则()=()()=()结合律证明显然上式两端都是A到D的映射，要证明它们相等，只需要证明它们对于A中每个元素的作用都相同，即()(a)=()(a),对于每个aA.由定义()(a)=(()(a))=(((a)),()(a)=()((a))=(((a)).证毕注意：映射的乘法不满足交换律，例如设f(x)=sinx,g(x)=x+1,则g(f(x))=sinx+1；f(g(x))=sin(x+1).故gffg.5.满射、单射、双射定义4设是集合X到Y的一个映射,如果：(1)对任意的1,2X,当12时，(1)(2)，则称为单射(或称内射injection).(2)(X)=Y，即对于任意的Y，存在X，使()=，则称为满射(或称映上的surjection).(3)若映射既是单射又是满射，则称为双射(或称一一对应，bijection).例8满射的有：单射的有：双射的有：在中，例1,2,4,6，当n=1时的例3;例1，3，6;例1，6.显然，对于由有限多个元素组成的集合，即所谓有限集合来说，两个集合之间存在双射的充分必要条件是它们所含元素的个数相同.于是对有限集合M及其子集MM，M与M就不能建立双射.对无限集合就不一定如此.有限集到有限集的映射的三种情况，可用下图来示意.XY单射XY满射XY双射图6-46.逆映射1)定义定义5设是集合X到Y的一个映射，=1X和=1Y如果存在集合Y到X的一个映射，使同时成立，则称是可逆映射(简称可逆)，并称为的逆映射，记作-1=.定义中与的地位是相同的，此时也说是可逆的，且-1=.2)逆映射的唯一性如果映射是可逆的，则其逆映射是唯一的.证明设1，2是的两个逆映射，即1=2=1X且1=2=1Y.则有1=11Y=1(2)=(1)2=1X2=2，故的逆映射是唯一的.证毕3)映射可逆的条件集合X到Y的映射可逆的充分必条件是为双射.证明先证必要性设可逆，即有唯一的从集合Y到X的映射，使=1X且=1Y,于是，对任意的Y，有=1Y()=()()=(())，由于()X，故是满射；又因为，若(1)=(2)，则1=1X(1)=((1))=()(1)=((2))=()(2)=1X(2)=2，故是单射，从而是双射.再证充分性.设是双射，对任意的Y，存在唯一的X，使()=，于是可定义集合Y到X的映射，使得()=，其中是X中与一一对应的元素，这样，对任意的X,都有()()=(())=()=，所以，=1X.同样，对任意的Y，都有()()=(())=()=，所以，=1Y.因此是可逆的.证毕本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.