第六章 万有引力定律

第六章万有引力定律§6.1开普勒定律2.行星运动的开普勒定律(1)轨道定律每个行星都各在以太阳为焦点的一个椭圆轨道上运动.(2)面积定律由太阳到行星的矢径,在相等的时间内扫过相等的面积.太阳近日点远日点开普勒三个定律是由科学家第谷、开普勒进行长期观测，在大量资料的基础上进行计算得出来的.这一常量对所有行星均相同(严格说应略有差异)仅与太阳性质有关,称开普勒常数.常量23Ta(3)周期定律行星绕太阳运动的椭圆轨道半长轴a的立方与周期T的平方之比为常量.第一定律可由求轨道方程直接证明；开普勒定律所描述的运动是相对于日心—恒星参考系的.第二定律则是角动量守恒的直接结果；第三定律可由轨道方程和角动量定理得到证明.§6.2万有引力定律·引力质量与惯性质量§6.2.1万有引力定律§6.2.2引力质量与惯性质量§6.2.3引力常数的测量§6.2.4地球自转对重量的影响§6.2.5牛顿万有引力定律的适用范围§6.2万有引力定律·引力质量与惯性质量§6.2.1万有引力定律1.引力思想的发展是什么原因使行星在各自的轨道上绕日运动?经过前人的努力，万有引力定律的思想准备已经基本成熟，牛顿建立了万有引力定律.牛顿使用“从运动的现象去研究力，从力去说明现象”的方法，根据行星运动的三条规律，牛顿得出了万有引力。开普勒本人在得到行星运动规律之后，也曾企图寻找运动的原因，来解释行星运动的现象。但他是着眼于对称性，他设计了一个由正多面体构成的宇宙。虽然现在已经证明，开普勒的解释并不正确，但是“从运动的现象去研究对称性”，也是一种有价值的方法。六四木土十二二十火八地金水2.万有引力定律设行星绕太阳作匀速圆周运动，从开普勒定律和牛顿运动定律出发论证万有引力定律.由开普勒第三定律213024πRCRRCRTRa22nπ2行星向心加速302RCT021π4CC仅与施力物体(太阳)性质有关.设月球绕地心运动，地球上物体和月球的向心加速度22nRCaC2仅与施力物体(地球)性质有关.2RCF设an是由相互作用力引起并与该力成正比，则有由牛顿第三定律施力是相互的。所以C应与两物体性质有关。用m1和m2分别表征各物体有引力作用的性质，称引力质量.所以221rmmF221rmmGF引入比例常数G.称万有引力常量G.TML213量纲为——万有引力定律任何两物体间均存在相互吸引力.若物体可视作质点，则二质点的相互引力F沿二质点的连线作用.万有引力定律本来是对质点而言的，但可证明，对于两个质量均匀分布的球体，它们之间的万有引力也可用此定律计算.12Fm1m212re21F若物体的线度与它们间的距离可相比拟时，这时物体不能视作质点，需将物体分成许多小部分，使每一部分都能视作质点，利用上式求出物体1各小部分与物体2各小部分之间的引力，每个物体所受的引力等于其各部分所受引力的矢量和.1Δm3Δm2Δm1Δm3Δm2Δm用“分割”方法计算两物体间的万有引力.§6.2.2引力质量与惯性质量引力质量——引力大小的量度.引力质量和作为惯性大小量度的惯性质量含义并不相同.最简单的实验是在地面同一地点测定各种物体的重力加速度.引力质量为m1的物体受地球的引力为211RmmGF引地二者之间的关系？引力质量为m2的物体受地球的引力为222RmmGF引地在同一地点，二质自由下落加速度分别为g1和g2由牛顿第二定律有1121gmRmmG惯引地2222gmRmmG惯引地实验表明,同一地点各种物体的重力加速度相等,即ggg21代入上式得更精确的实验证明是厄缶实验及以后的改进实验.gRGmmmmm22211地惯引惯引惯引mm选适当G值可使惯引mm关键是同一地点各种物体的重力加速度是否相等？牛顿单摆实验310Δ惯引惯惯mmmmm即惯性质量与引力质量等价.§6.2.3引力常数的测量英国卡文迪什(H.Cavendish)利用扭称测得2211kgmN1012.051.6）（G21311skgm10754.6G1991年舒尔(J.Schurr)报道为1999年华中科技大学罗俊领导的引力实验室利用扭摆测得21311skgm100.00079669.6G§6.2.4地球自转对重量的影响若将地球视为惯性系，物体重力即是地球与物体的万有引力.地球不是严格的惯性系，物体重力是地球万有引力与离心惯性力的矢量和.1.重力偏离引力的角度将质量为m的质点悬挂于线的末端且相对于地球静止.受力如下页图所示.平衡方程0*CTFFF重力TFW*CFOFWTFRRmF2*C离心惯性力RmFW2WFsinsin*C如图由正弦定理sincossinsin2*mgRmWFC地gR22sin2地.645则若取15rad103.7sm104.66地R很小,2sin1074.1sin32.重力与纬度的关系）（）（sin180sinsinFFW由正弦定理1cos1)sincot1(FW）地22cos1(gRFWg22sinsin2地R将代入上式得122cos1(）地gRFW括号内后一项是小量，所以即重量随纬度变化的定量式)(0赤道maxW（两极）2πminWFW且maxmin一般但W相差很小,45如）（00174.01FW所以引力是重力的主要成分.因引力与重力角度和大小都相差很小,因而WF故可将地球视为惯性系.§6.2.5牛顿万有引力定律的适用范围牛顿引力定律不能解释水星轨道的旋进，需用广义相对论解释之.近日点太阳水星由于旋进，火星绕日轨道不再封闭万有引力是超距作用，还是通过引力场作用?电磁场是以光子为媒介.引力场呢？是以引力子为媒介？引力子为何物？尚在探索.牛顿万有引力定律适用于——弱场低速.c是光速，m是产生引力场球体质量.Rg是引力半径用R表示产生引力场球体半径，1RRg若可用牛顿万有引力定律2/2cGmRg数学式太阳白矮星中子星610/RRg4310~10/RRg3/1/RRg可用牛顿万有引力定律,可用牛顿万有引力定律,用广义相对论.§6.3引力势能§6.31引力势能§6.3.2三种宇宙速度万有引力的功rrmmGArrd02作功仅与起始位置有关，是保守力.)11(0rrmGm§6.3引力势能设质点m′在m的引力场中从r0处运动到r处，rmGmE/p势能0)(pE§6.31引力势能第一宇宙速度——物体可以环绕地球表面运行所需的最小速度(环绕速度).km/s91.71v地Rvmmg21以下计算均不计空气阻力等次要因素.§6.3.2三种宇宙速度第二宇宙速度——逃脱地球引力所需要的从地面出发的最小速度(脱离速度).02122地地RmmGmvkm/s2.1122地地RGmv第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系是212vv第三宇宙速度——是使物体脱离太阳系所需的最小速度(逃逸速度).设质点以第三宇宙速度抛出时，其动能为23k21mvE21kkkEEE这个动能包含两部分，即脱离地球引力所需的动能Ek1和脱离太阳系所需的动能Ek2：而22k211mvE地球公转动速率v=29.8km/s，求脱离太阳系所需的动能Ek2.由类比质点脱离太阳引力所需速率应该是km/s2.42km/s8.29222vv设准备飞出太阳系的质点的发射方向与地球公转的方向相同，射出的质点在离开地球时相对地球速率为km/s4.12km/s)8.292.42(v与此相对的动能为2k212vmE既能摆脱地球引力又能摆脱太阳引力所需要的总能为222kk23k21212121vmmvEEmvE22223vvv即第三宇宙速度2223vvvkm/s7.16km/s4.122.1122抛体以不同速度抛出时不同类型的运动轨迹.v=v1vv2v=v2vv2[例题]人造卫星半径越大其机械能怎样变化？[解]rGMvrvmrMmG22即卫星半径越大，它的动能越小。rMmGrMmGmvEEPK2)(212即卫星半径越大，它的机械能也越大。[例题]发射一宇宙飞船去考察一质量为m1、半径为R的行星，当飞船静止于空间距行星中心4R时，以速度v0发射一质量为m2（m2远小于飞船质量）的仪器（如图），要使[解]在不计其他星体对仪器作用的情况下，仪器只处在行星的中心力场中，故对行星中心的角动量守恒。又行星引力为保守力场，仪器的机械能也应守恒，所以有sin4sin4,sin00002002vRrvvRrvRmrvmRvv0m2m1r0θO这仪器恰好掠着行星的表面着陆，θ角应是多少？着陆滑行初速度v多大？以及RmGmvmrmGmvm21220212022121将式（1）代入式（2）解得.231231414,23141sin21201021201021201RvGmvRvGmvvRvGm[例题]关于黑洞（blackhole）黑洞是天体物理学预言的一类天体，其特征是它的引力非常大，以致于包括光在内的任何物质都不能从它上面发射出来，所以称为黑洞。它是宇宙间的一种暗物质。早在1795年，拉普拉斯（P.S.M.Laplace）就预言过黑洞的存在。若光子不能逃离引力源的作用，意味着它在引力源的表面处时，其动能和势能之和应小于或等于零。假设引力源的质量为M，半径为R，光子处于引力源表面时的速度等于C，但它不能逃离引力源。因此黑洞的半径为0212RMmGmCgrCGMR22式中叫做引力半径。对于地球，质量克，可求得地球引力半径是厘米。计算表明，如果地球的全部质量能缩小到半径约1厘米的小球内，那么，生活在这样小球上的人，将无法和外界进行光的或无线电的联系，它将成为一个孤立的体系。gr27106地M9.0gr§6.4潮汐§6.4.1月球对海洋潮汐的影响§6.4.2太阳对海洋潮汐的影响潮汐是海水的周期性涨落现象.“昼涨成潮，夜涨成汐”.§6.4潮汐这种现象牛顿首先给出了正确的说明，它是月亮、太阳对海水的引力以及地球公转和自转的结果.设海水覆盖整个地球表面.地月绕二者的共同质心C转，视C为原点，建坐标轴指向恒星的惯性坐标系Cxy，以地心C´为原点建坐标系C´x´y´，Cxy与C´x´y´各坐标轴保持平行，即C´绕C平动.设水相对C´静止.§6.4.1月球对海洋潮汐的影响C为地月质心C´为地心C´绕C平动因为平动，各单位质量水与地心处单位质量物体所受向心力相同.yCxyxCm月球CFCCm单位质量物质在各处所受月球的引力不同.CCmF正是月球引力的作用产生潮汐.CCmFABDEP单位质量物体受到的引潮力地面上单位质量物体受月球引潮力定义为CFFF,CFFF和分别表示引潮力向心力和引力FFCFP2dGmFCG、m和d分别表示万有引力常数、月球质量和地心月心距离.向心力dlCmQveHe考虑如图中Q点处单位体元物质所受引潮力.将引潮力向Q处竖直方向投影，得cos)cos(22cvvvdGmlGmFFF处竖直方向为地面Qev处水平方向为地面QeHsin)sin(22CHHHdGmlGmFFF竖直力Fv使海水“涨起、跌落”；水平分量FH造成海水的“潮流”.现考察两个特殊点：离月亮最近点A和最远点BCmABOxCFFFCFRdl,0R地球半径水平方向投影，得22dGmRdGmFBx）（22dGmRdGmFAx）（dRd22dRd32dGmRFAx22)()2(dRdRRdGm32dGmRFAxFBx就是在地球上观察到的“引潮力”它将使该