吴赣昌编概率论与数理统计第1章

引言概率统计是研究什么的客观世界中发生的现象确定性的——在一定条件下必然发生的现象随机性的——在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果1)拋掷一枚硬币，其结果可能是图案面朝上(数字面朝上)，也可能是图案面朝下(数字面朝下)，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。4)股市的变化。说明：随机现象是广泛存在的。一个射手在一次射击中可能击中目标，也可能未击中目标，但在一个短时间内，每天的命中率却是稳定的。同一门炮在同样发射条件下射出的许多炮弹其落点不一样。虽然落点不同，但形成一个椭圆---落点分布。命中率的稳定性与落点分布的稳定性都说明随机现象中蕴含着某种确定的规律。这种规律只有在大量的试验和观察中才能呈现出来，这种规律性叫做统计规律性。概率统计——研究和揭示随机现象统计规律性的学科应用范围广泛。例如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。第一章随机事件及其概率随机事件及其运算频率与概率古典概型和几何概型条件概率事件的独立性1.1随机试验、样本空间、随机事件一、随机试验（简称“试验”）试验Ⅰ：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出一球试验Ⅱ：一个盒子中有10个大小完全相同的球，5个白色，5个黑色，搅匀后任意摸出一球随机试验的特点(p2)(1)试验可以在相同条件下大量重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果—可观察性；(3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的统计规律性。满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。随机试验的例子随机试验二、样本空间(p2)1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验E样本空间，记为S或Ω；2、样本点：试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点，记为。试给出E1—E4的样本空间幻灯片8三、随机事件例1.1将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：)6,6()2,6()1,6()6,2()2,2()1,2()6,1()2,1()1,1(S其中有36个可能的结果，即36个样本点。每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴趣，称之为事件。如事件A：两次投掷所得点数之和为8。事件B：两次投掷所得点数相等。A发生(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)记作：A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}，A是S的子集。类似地，B={(1,1),(2,2),…,(6,6)}，B也是S的子集。1、随机事件(p3)——随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C…表示。任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素出现。特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件为基本事件(或简单事件)。2、两个特殊事件必然事件S——S包含所有的样本点，是S自身的子集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。不可能事件Φ——空集Φ不包含任何样本点，它是S的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。事件可以用文字表示，事件也可以表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。A与B两个事件相等：A＝BAB且BA。例1.2四、事件之间的关系（熟练掌握）2.和事件(p4)（[4]）：“事件A与B至少有一个发生”，记作A∪B2’n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作iniA12”可列个事件A1,A2,…,An…至少有一个发生，记作inA13.积事件(p4):A与B同时发生，记作A∩B＝AB3’n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作nniiAAAA2113”可列个事件A1,A2,…,An,…同时发生，记作nniAAAA2114.差事件(p4)：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生，它是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件。思考：何时A-B=?何时A-B=A？例1.2中B=C∪DC=B∩CD=B-C例1.25.互斥的事件(p4)：AB=Φ,指事件A与B不能同时发生。又称A与B互不相容。基本事件是两两互不相容的例1.2中：AB=ΦAC=Φ6.互逆的事件(p4)A∪B＝,且AB＝BABAAAB易见的对立事件，称为记作;A与B对立：事件A与B既不能同时发生，又不能同时不发生。即在每次试验中，A与B有且仅有一个发生。对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件。五、事件的运算(p5)1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)，(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)4、对偶(DeMorgan)律：.,,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广5、差积转换律)(BAABABA例1.3甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：::::::::::::654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标””“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标””“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA1.2频率与概率1.频率定义1.设在相同条件下，进行了n次试验，若随机事件在n次试验中发生了次，则此比值：称为事件A在n次试验中发生的频率，记作，即=ArnnArnnArnnfAnfA频率具有如下的性质(1)对任一事件A，0fn(A)1；(2)对必然事件S，fn(S)＝1；而fn()=0(3)可加性：若事件A、B互不相容，即AB＝，则fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)。一般地，若事件A1，A2，…，An两两互不相容，则niinninAfAf11)(事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005实践证明：当试验次数n增大时，随机事件A的频率fn(A)逐渐趋向一个稳定值。这是随机现象固有的性质，即频率的稳定性，也就是我们所说的随机现象的统计规律性。二、概率从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性P（A）应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？1、概率的统计定义设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)=p。由定义，显然有0≤P(A)≤1,P(S)=1，P(φ)=0。设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(·)具有如下性质：①非负性：对任意一个事件A，均有P(A)≥0；②完备性：P(S)=1；③可列可性质：若A1，A2，…，An，…是两两互不相容的事件序列，即Ai∩Aj=φ(i≠j,i,j=1,2,…)，有P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…则称P(A)为事件A的概率。2、概率的公理化定义（P.8）3、概率的性质(P.9-10)①不可能事件的概率为零，即P(φ)=0；②概率具有有限可加性，即若事件A1，A2，…，An两两互不相容，则必有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)③设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特别地，若AB，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(A)≥P(B)，此性质称为单调不减性。)(1)(APAP④互补性对任一事件A，有⑤加法公式对任意两个事件A，B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)可推广(P.10)。⑥可分性对任意两事件A，B，有)()()(BAPABPAP例1.5某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为0.6，第二天为0.3，两天都降水的概率为0.1，试求：(1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)，(2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)，(3)“至少有一天下雨”的概率P(D)，(4)“两天都不下雨”的概率P(E)，(5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。解设Ai表示事件“第i天下雨”，i=1，2，由题意P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1A2)=0.1(1)2112121AAAAAAAB且121AAA可得5.01.06.0)()()()(211211AAPAPAAAPBP（2）21212()()()()0.30.10.2PCPAAPAPAA（3）至少有一天下雨21AAD)()()()()(212121AAPAPAPAAPDP=0.6+0.3-0.1=0.8（4）2121AAAAE2.08.01)(1)()(2121AAPAAPEP（5）9.01.01)(1)()(2121AAPAAPFP1.3古典概型与几何概型一、古典概型的定义(p.11)设随机实验E满足下列条件1.有限性：试验的样本空间只有有限个可能的结果，即2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。12{,,...,}nS12()()...()1/nPPPn设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有)()()(SNANSAAP中样本点的个数所包含的样本点的个数P(A)具有如下性质：(1)0P(A)1；(2)P(S)＝1；P()=0；(3)AB＝，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。古典概型中的概率(P12)：)()()(SNANSAAP中基本事件总数所包含的基本事件数或解设A--至少有一个男孩,以b表示某个孩子是男孩，g表示某个孩子是女孩。S={bbb,bbg,bgb,gbb,bgg,ggb,gbg,ggg}A={bbb,bbg,bgb,gbb,bgg,ggb,gbg}87)()()(SNANAP例1.6有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?例1.7在盒子里有10个相同的球