第一章 弹性力学基本方法和平面问题解答

Oct.,2006过程装备力学基础Page-1过程装备力学基础主编陈旭主审蒋家羚化学工业出版社2002Oct.,2006过程装备力学基础Page-2内容摘要本书介绍在“过程装备”设计中所应用的工程力学方面的基本理论和基本知识。包括弹塑性理论的有关内容、圆板理论、旋转薄壳理论，机械振动，疲劳设计,断裂力学及有限单元法等。Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-3第一章弹性力学基本方法和平面问题解答Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-4第一节弹性力学的内容和基本概念1.弹性力学的内容研究内容弹性力学与材料力学的区别研究对象研究方法基本假设Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-5弹性力学的基本假设理想弹性体物体是连续的物体是完全弹性的物体是均匀的物体是各向同性的位移和形变是很小的Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-6平面问题的基本理论直角坐标解答极坐标解答温度应力空间问题的基本理论薄板理论薄壳理论理论弹性力学应用弹性力学弹性力学的分类Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-72.弹性力学中的几个基本概念外力体积力（体力）表面力（面力）应力正应力剪应力应变线应变剪应变位移Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-8应力、应变的方向说明Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-93.弹性力学基本方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-103.1平衡方程在垂直x轴的两个面上应力分别为：dxxxzxzdxxxyxydxxxxxz,σx,xyOct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-113.1平衡方程在垂直y轴的两个面上应力分别为：,y,yxyzdyyyydyyyxyxdyyyzyzOct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-123.1平衡方程在垂直z轴的两个面上应力分别为：,z,zxzydzzzzdzzzxzxdzzzyzyOct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-13沿x轴力的平衡方程0xF0Xdxdydzdxdzdxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx3.1平衡方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-14化简以后，两边同除后，dxdydz0Xzyxzxyxx3.1平衡方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-15同理，由：0yF0Yzyxzyyxy3.1平衡方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-16由0zF0Zzyxzyzxz3.1平衡方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-170Zzyxzyzxz0Yzyxzyyxy0Xzyxzxyxx3.1平衡方程(1-1)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-18对于这一微正六面体的力矩平衡条件同样可以导出剪应力互等定律0xMzyyz0yMzxxz0zMyxxy剪应力互等定律(1-2)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-19它给出了六个应变分量和三个位移分量之间的关系。xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx,3.2几何方程(1-3)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-20在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系式，也就是物理方程。3.3物理方程（广义虎克定律）Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-21zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxG1G1G1E1E1E13.3物理方程(1-4)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-22式中E是弹性模量，G是剪切弹性模量，是泊松比，这三个弹性常数之间有如下关系：)1(2EG3.3物理方程（广义虎克定律）(1-5)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-23总结平衡方程：F()=0几何方程：位移与应变的关系物理方程：广义虎克定律对于空间问题：15个方程，15个未知量ZYXyzxzxyzyx,,,,,,,,wvuyzxzxyzyxyzxzxyzyx,,,,,,,,,,,,,,uOct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-24第二节弹性力学的平面问题1.平面应力和平面应变图1-2平面应力示例02Szz平面应力问题0)(2Szzx0)(2Szzy0z0zx0zyzxyxyOct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-25平面应变问题由于对称，，，这样六个应力分量剩下四个，即，，和。0zy0zxxyzxyOct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-262.1平衡方程对于平面应力问题，,0z,0zx.0zy2.平面问题的基本方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-27对于平面应变问题，在z方向还作用有正应力但是自成平衡的，,zz0zy0zx2.1平衡方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-28于是，平面问题中的平衡微分方程为：0Yxy0Xyxxyyyxx0Xzyxzxyxx0Yzyxzyyxy2.1平衡方程(1-6)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-29AxudxdxudxdxxuuPAPAAPx2.2几何方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-30A2.2几何方程yvdydyvdydyyvvPBPBBPyOct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-31Avdydyyvvudyyuuudxdxxuuvdxxvvyuxvdxdxxu1dydyyv1这里采用了小变形下的关系2.2几何方程fPfBePeAtgtgxyOct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-32于是，平面问题中的几何方程为：yuxvyvxuxyyx2.2几何方程(1-7)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-33在平面应力中，，，。xyxyxyyyxxGEE1)(1)(10z0yz0zx)(yxzE2.3物理方程(1-8)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-34在平面应变问中，，，。xyxyG10zy0zx0zzyxxE1zxyyE1)(yxz0zy0zx2.3物理方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-35整理得到平面应变问题的物理方程为xyxyxyxyyyxxEGEE)1(21)1(1)1(1222.3物理方程(1-9)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-36提示:平面应力的物理方程中将E换为，换为，就得到平面应变问题的物理方程.21E12.3物理方程Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-373.1位移边界条件uuvv3.平面问题的边界条件(1-10)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-38在边界上，应力分量与给定表面力之间的关系—即应力边界条件，可由边界上小单元体的平衡条件得出。3.2应力边界条件Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-39在边界上取出小单元体，它的斜面AB与物体的边界重合，如图所示。用N代表边界面AB的外法线方向，并令N的方向余弦为myNlxN),cos(),cos(图1-6应力边界条件边界面AB的长度为ds，则PA和PB的长度分别为lds和mds。垂直于图面的尺寸取为一个单位。作为在边界上的已知面力沿坐标轴的分量为,.XYOct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-40图1-6应力边界条件由平衡条件，得0xF021111ldsmdsXmdsldsdsXyxx3.2应力边界条件Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-41各项除以ds，并令ds趋于零，则得：式中是应力分量的边界值。XmlSyxSx)()(SyxSx)(,)(3.2应力边界条件Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-42同样，由平衡条件，得：0yFYlmSxySy)()(3.2应力边界条件Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-43YlmXmlSxySySyxSx)()()()(平面问题的边界条件(1-11)Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-44在垂直于x轴的边界上，x值为常量，，，应力边界条件简化为1l0mXSx)(YSxy)(3.2应力边界条件Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-45在垂直与y轴的边界上，y值为常量，应力边界条件简化为0l1mYSy)(XSyx)(3.2应力边界条件Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-46如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。4.圣维南原理Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-47应力解法位移解法混合解法5.平面问题的解法Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-48以应力分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含应力分量的微分方程，由这些微分方程和边界条件求出应力分量，再用物理方程求出应变分量，用几何方程求出位移分量。应力解法Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-49以位移分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含位移分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出位移分量，再由几何方程求出应变分量，用物理方程求出应力分量。位移解法Oct.,2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page-50同时以某些位移分量和某些应力分量为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含这些位移分量和应力分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出