控制理论基础

第6章控制系统稳定性对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A.M.Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。A.M.Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。本章的主要内容为1.引言2.李亚普诺夫意义下稳定性的定义3.李亚普诺夫第二法4.线性连续系统的稳定性6.1引言李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性。第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。例6-1一个弹簧－质量－阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。0kxxfxm令1m0kxxfx（1）选取状态变量xx112xxx则系统的状态方程为212fxkxx21xx（2）在任意时刻，系统的总能量2122212121),(kxxxxE（3）显然，当时，而当时0x0)(xE0x0)(0E而总能量随时间的变化率为222211221121dddd),(ddfxxxxkxtxxEtxxExxEt可见，只有在时，。在其他各处均有，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。02x0/ddtE0/ddtELyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。平衡状态——一般地，系统状态方程为，其初始状态为。系统的状态轨线是随时间而变化的。当且仅当（当t≥t0）则称为系统平衡。),(txfx)(0tx)(txexxexex如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使，因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。0ex6.2李亚普诺夫意义下稳定性的定义6.2.1稳定的定义nxx1x则221nxxx非线性时变系统0ex),(txfx（6）（6）（5）0),(tetxx)(0≤),(0t定义对于任意给定的实数，都对应存在实数，使0满足的任意初始状态出发的轨线有00)(xxt)(txetxx)(≤ε（对所有t≥t0）成立，则称为Lyapunov意义下是稳定的。0ex——表示求欧几里德范数。（即：表示空间距离）Lyapunov意义下稳定渐进稳定渐进稳定6.2.2渐近稳定0ex如果系统的平衡状态是稳定的。从平衡状态的某个充分小的领域内出发的状态轨线，当时，收敛于，则称为渐近稳定。0ex)(txt0ex更精密的叙述如下：0exetxx)()(tx0ex如果系统的平衡状态，对于，存在和，当时，从出发的，都有并且充分大时，就充分小。则称为Lyapunov意义下渐近稳定。当与、无关时，则称为一致渐近稳定。0tTTtetxx)(0T0ex0tT实际上，工程中的李氏稳定是临界不稳定BA无摩擦，等幅振荡A球受外力离开平衡点,存在摩擦力时,小球最终静止在A点。物理意义6.2.3大范围渐进稳定如果是整个状态空间中任一点，并且都有则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。00)(xxtettxx)(lim当稳定性与的选择无关时，称一致全局渐近稳定。0t不稳定6.2.6不稳定对于任意的实数，存在一个实数，不论取的多么小，在满足不等式的所有初始状态中，至少存在一个初始状态，由此出发的轨线，满足00exx00x)(txexx称为Lyapunov意义下不稳定0ex大范围稳定不稳定6.3李亚普诺夫第二法0)(xV定义如果标量函数，并且当时，；仅当时，；则称为正定的。除了以外，还有状态使，称为半正定的。)(xV≥00x0x0)(xV)(xV0x0)(xV)(xV)(xV0)(xV0x0)(xV定义如果标量函数，并且当时，；仅当时，；则称为负定的。除了以外，还有状态使，称为半负定的。)(xV≤00x0x0)(xV)(xV（7）定理6-1设系统状态方程为)(xfx在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为负定。则为一致渐近稳定的。如果，，则是大范围一致渐近稳定的。0ex)(xV)(xV)(xV0exx)(xV)(xV例6-2系统的状态方程如下，判别系统稳定性。)(21221xxxxx解而221121212))(()(xxxxxxxxVx将状态方程代入上式，化简后得)()(2221xxVx222122121)(21)(xxxxVx选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足00)(00)(xxxxVV可见，是负定的，即满足)(xV00)(00)(xxxxVV因此，是一致渐进稳定的。0ex当，有，故系统是一致大范围渐进稳定的。0exx)(xV定理6-2设系统状态方程为)(xfx)(xV)(xVx0ex0)(xV0ex)(xV)(xV在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为半负定；3）除了平衡状态外，还有的点，但是不会在整条状态轨线上有则为一致渐近稳定的。如果，，则是大范围一致渐近稳定的。0ex)(xV0)(xV（注：本定理是将定理6-1的条件稍微放宽了一点）例6-3系统的状态方程为1222221)1(xxxaxxx其中，a为大于零的实数。判别系统的稳定性。解系统的平衡状态为0ex选取Lyapunov函数：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足而221122)(xxxxVx将状态方程代入上式，化简后得2222)1(2)(xxaVx21xx1x可见，当和任意的时，有，而和任意时，。又因为，只要变化就不为零，因此在整条状态轨线上不会有。02x1x0)(xV02x1x0)(xV21xx0)(xV因此，是一致渐进稳定的。0ex当，有，故系统是一致大范围渐进稳定的。0exx)(xV定理6-3设系统状态方程为)(xfx0ex)(xVx0ex)(xV)(xV0ex在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为半负定；则为一致稳定的。如果，，则是大范围一致稳定的。)(xV（注：本定理只是比定理6-2少了第3个条件，不能保证渐近稳定，只能保证一致稳定。）例6-6系统的状态方程为1221xxkxx其中，k为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。解系统的平衡状态为0ex选取Lyapunov函数：2221)(kxxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足而02222)(21212211xkxkxxxkxxxVx由定理6-3可知，为Lyapunov意义下一致稳定。0ex定理6-6设系统状态方程为)(xfx0ex)(xV)(xV0ex在的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为正定或半正定；则为不稳定的。)(xV例6-5系统的状态方程为21221xxxxx分析系统平衡状态的稳定性。解系统的平衡状态为0ex选取Lyapunov函数：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足而222221212211222222)(xxxxxxxxxxVx由定理6-6可知，是不稳定的。0ex应该指出：到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般方法。因为Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数，既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该系统稳定性的信息（即：inconclusive—没有得出结论）。6.6线性连续系统的稳定性对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为xAx)(t由第2章介绍的方法求出其解为由此可判别齐次以及非齐次系统的稳定性，如果收敛则都稳定；如果发散，则都不稳定。)(),()(00ttttxx首先介绍矩阵正定性的定义：对于方阵nnnnnnqqqqqqqqq212222111211Q当它的所有主子式均大于零时，则Q是正定的。即：011q022211211qqqq,,0212222111211nnnnnnqqqqqqqqq对线性定常系统，可以用Lyapunov第二法。xAx)(t如果方阵Q是正定的，则－Q就是负定的。负定的矩阵主子式负正相间。Lyapunov函数为状态变量的二次型函数，即)(xVxPxxxTV)(如果P为维正定的对称常数矩阵，则为正定的。nn)(xVxPAPAxPxxx)()(dd)(TTTtV令，其中Q为正定实数矩阵，且满足QxxxTV)(QPAPAT如果给定Q阵，能够推出P为正定的，则系统在为稳定的。并且线性定常系统为稳定，就一定是大范围一致渐近稳定。0ex（注：线性定常系统，可以判断A的特征值是否全部具有负实部，既可以判别其稳定性。）例6-6线性定常系统的状态方程为xx1110--判别系统的稳定性。解系统的平衡状态为0ex为简单起见，可以令Q阵为单位矩阵I。IPAPAT1001111011102221121122211211PPPPPPPP解得121212322211211PPPP022211211PPPP011P有可见，P为正定的矩阵，故为大范围一致渐近稳定的。0ex6.5线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的状态方程为)()1(kkGxx（8）0ex系统的平衡状态为0ex假设G为维非奇异常数阵，是唯一的平衡状态。nn选取Lyapunov函数)()()]([kkkVTPxxx（9）式中，P为正定的对称常数，因此是正定的。nn)]([kVx)]([kVx的差分为)(])[()()()1()1()]([)]1([)]([ΔkkkkkkkVkVkVTTTTxP-PGGxPxxPxxxxx若要在处渐近稳定，要求为负定的。所以0ex)]([ΔkVx)()()]([ΔkkkVTQxxx其中Q为正定。给定一个正定对称常数阵Q，求P阵，并验证其正定性。QP-PGGT（10）例6-7线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。)(02110)1(kkxx解系统的平衡状态为0ex为简单起见，可以令Q阵为单位矩阵I。IPPGGT解得100102110012102221121122211211PPPPPPPP380035P035P的各阶主子式均大于零，即0380035可见，P为正定的矩阵，故为大范围一致渐近稳定的。0ex6.6有界输入-有界输出稳定6.6.1有界输入-有界输出稳定BoundedInputBoundedOutput(BIBO)Stable定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称为BIBO系统。如果输入有界，是指≤uu1K如果输入有界，是指≤yy2Kτττtttd)()(0uHy≤τττtKτττtttttd)()(d)()(0