雄关漫道系列《师说》2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第九章 9.5 直线、平面垂直的判

9．5直线、平面垂直的判定及性质考纲点击1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.说基础课前预习读教材考点梳理一、直线与平面垂直1．定义：如果一条直线l和一个平面α内的①__________直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直．2．判定定理：如果一条直线和一个平面内的②__________直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．性质定理：如果两条直线同③______于一个平面，那么这两条直线平行．4．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的④______叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，也就说它们所成的角是⑤______；一条直线和平面平行或在平面内，就说它们所成的角是⑥______的角，可见，直线和平面所成的角的范围是⑦__________.二、两个平面垂直1．二面角：从一条直线出发的两个⑧______所组成的图形，叫做二面角．2．二面角的平面角：一个平面垂直于二面角α－l－β的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角．3．直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角．4．二面角的平面角的范围是⑨________________，当两个半平面重合时，θ＝⑩______；相交时⑪__________；共面时θ＝⑫__________.5．两个平面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是⑬__________，就说这两个平面互相垂直．6．两个平面垂直的判定定理及性质定理(1)平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的⑭__________，那么这两个平面互相垂直．(2)平面和平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内⑮____________的直线垂直于另一个平面．答案：①任意一条②两条相交③垂直④锐角⑤直角⑥0°⑦[0°，90°]⑧半平面⑨0°≤θ≤180°⑩0°⑪0°＜θ＜180°⑫180°⑬直二面角⑭一条垂线⑮垂直于它们交线考点自测1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.答案：A2．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A．n⊥βB．n∥β，或n⊂βC．n⊥αD．n∥α，或n⊂α解析：∵n与β的位置关系各种可能性都有，∴A、B都不对．当n⊄α时，作n′∥n，且n′∩m＝O，则n′与m确定平面γ.设α∩γ＝l，则有m⊥l，又m⊥n′，所以l∥n′，∴l∥n，∴n∥α；当n⊂α时，显然成立．故C不对，D正确．答案：D3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：D4．(2013·长沙模拟)下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是()A．①③B．②③C．①④D．②④解析：②中平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线，故②③错，选C.答案：C5．三棱锥P－ABC的顶点P在底面的射影为O，若PA＝PB＝PC，则点O为△ABC的__________心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的__________心．解析：当PA＝PB＝PC时，OA＝OB＝OC，∴O为外心．当PA、PB、PC两两垂直时，AO⊥BC，BO⊥AC，CO⊥AB.∴O为垂心．答案：外垂说考点拓展延伸串知识疑点清源两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.题型探究题型一直线与平面垂直的判定和性质例1已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图，取AB中点E，连接SE、DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形．∴SE⊥AB.∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥面SDE.而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC中点，∴SD⊥AC.∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥面ABC.(2)方法一，若AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC，∴SD⊥BD，∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC＝D，∴BD⊥面SAC.方法二，若AB＝BC，则BD⊥AC.由(1)知SD⊥平面ABC，又SD⊂平面SAC，∴平面ABC⊥平面SAC，又平面ABC∩平面SAC＝AC.∴BD⊥平面SAC.点评：线面垂直的定义，拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，就完成了空间问题与平面问题的转化．变式探究1如图所示，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°.求证：MN⊥平面PCD.证明：如图，取PD的中点E，连结AE，NE.∵E、N分别为PD、PC的中点，∴EN綊12CD.又∵M为AB的中点，∴AM綊12CD.∴EN綊AM，∴四边形AMNE为平行四边形．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形．∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.题型二平面与平面垂直的判定和性质例2如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE＝2BD，求证：(1)平面BDM⊥平面ECA；(2)平面DEA⊥平面ECA.证明：如图，取AC中点N，连接MN、BN，∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD.△ECA中，M、N分别是EA、CA中点，∴MN∥EC，且MN＝12EC.又∵EC＝2BD，∴MN∥BD且MN＝BD.∴四边形MNBD是平行四边形．∴MD∥BN.∵EC⊥平面ABC，且BN⊂平面ABC，∴EC⊥BN.∵正三角形ABC中，N是AC中点，∴BN⊥AC.又AC∩EC＝C，∴BN⊥平面ECA，∴MD⊥平面ECA.(1)∵MD⊥平面ECA，MD⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.(2)∵MD⊥平面ECA，MD⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.点评：要证面面垂直通常是先证线面垂直，本题中直接证MD⊥平面EAC较繁琐，而转化为证明BN⊥平面ECA就简单多了．变式探究2如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又因为PA⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.(2)因为AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于点F，且AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF.又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.题型三空间垂直中的探索性问题例3如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB.(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．解析：(1)方法一，如图，取AD中点G，连接PG，BG，BD.∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中，∠A＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.方法二，如图，取AD中点G∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD又易知△ABD为正三角形∴AD⊥BG.又BG，PG为平面PBG内的两条相交直线，∴AD⊥平面PBG.∴AD⊥PB.(2)连接CG与DE相交于H点，在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，∴FH⊥平面ABCD，∴平面DHF⊥平面ABCD，∵H是CG的中点，∴F是PC的中点，∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.点评：探索性问题的求解策略是化探索为求解，如果有解，且解符合题意，则存在，否则不存在．变式探究3如图，在正三棱锥A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点．(1)试判断四边形EFGH的形状，并说明判断理由；(2)设P点是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请说明理由．解析：(1)四边形EFGH是一个矩形，下面给出证明：∵AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH＝HG，AD⊂面ACD，∴AD∥HG，同理EF∥AD，∴HG∥EF，同理有EH∥FG，∴四边形EFGH是一个平行四边形．又三棱锥A－BCD是一个正三棱锥，∴A点在底面BCD上的射影O点必是△BCD的中心，OD⊥BC，∴AD⊥BC.∴HG⊥EH，即四边形EFGH是一个矩形．(2)作CP⊥AD于P，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP，∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，又HG⊂面EFGH，∴面BCP⊥面EFGH，在Rt△APC中，∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP＝32a.题型四直线与平面所成的角例4如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求BD与平面ADMN所成的角．解析：(1)∵N是PB的中点，PA＝AB，∴AN⊥PB.∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.∴AD⊥PB.又∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM.(2)连接DN，∵PB⊥平面ADMN，∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，在Rt△BDN中，sin∠BDN＝BNBD＝12·2AB2AB＝12，∴∠BDN＝30°，即BD与平面ADMN所成的角为30°.点评：求直线与平面所成的角，关键是找到(或作出)斜线在平面内的射影．变式探究4如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成