第一章 函数与极限

第一章函数与极限函数函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。01函数概念的起源与发展史数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用．函数就是这样的重要概念．在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识激发学习兴趣将是有益的．最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标．1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数．贝努利所强调的是函数要用公式来表示．后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以．至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准．1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了，由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数，他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数．”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词．1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“函数是这样的一个数，它对于每一个都有确定的值，并且随着一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以求出每一个的对应值．1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y是x的函数”．这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定义曾被比较长期的使用着．自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了．中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的．中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思．李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓展将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展．02极限概念的发展史微积分中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K.(T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。凡本质上与极限概念有关的数学分支统称为分析数学，以区别于完全不用这一概念的代数学。几何学的各分支绝大部分也直接或间接地与极限概念密切相关。知识点一函数了解函数定理及概念，能用来判定一些函数极限不存在。1重点难点本知识点的重点难点，有目的性的展开本知识点学习。2在线听课本知识点的视频讲解，模拟真实的课堂环境，观看视频的重点讲解。3自学课件阅读文字教材，文字结合相关的图片、表格形象生动的展示课程内容。4课后作业通过课后作业，加深对本知识点的巩固，检查自己的掌握程度。5习题讲解观看教师对课后作业的讲解，总结经验、规律。知识点二数列极限了解数列极限的概念、性质、数列极限存在准则、怎样用定义证明数列极限存在。1重点难点本知识点的重点难点，有目的性的展开本知识点学习。2在线听课本知识点的视频讲解，模拟真实的课堂环境，观看视频的重点讲解。3自学课件阅读文字教材，文字结合相关的图片、表格形象生动的展示课程内容。4课后作业通过课后作业，加深对本知识点的巩固，检查自己的掌握程度。5习题讲解观看教师对课后作业的讲解，总结经验、规律。知识点三函数极限了解函数极限的定义、性质、函数极限存在的准则、两个重要极限、无穷大与无穷小量。1重点难点本知识点的重点难点，有目的性的展开本知识点学习。2在线听课本知识点的视频讲解，模拟真实的课堂环境，观看视频的重点讲解。3自学课件阅读文字教材，文字结合相关的图片、表格形象生动的展示课程内容。4课后作业通过课后作业，加深对本知识点的巩固，检查自己的掌握程度。5习题讲解观看教师对课后作业的讲解，总结经验、规律。在线作业请根据条件，您可以选择以下两种方式提交作业：1.在作业系统中在线完成提交，进入作业系统。2.书面完成下面的题目后，将作业请交所在学习中心。0102030405讨论在处的极限是否存在。在线作业06按定义证明下列函数列极根：07利用极限性质计算下列极限：08用单调有界定理判断下列数列是否收敛：（1）（2）09按定义证明：10证明下列关系：11指出下列函数的间断点，并指出间断点是属于哪一类型的？（1）（2）（3）第一章函数与极限1案例一1成本函数某产品的总成本C是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（如劳动力、原料、设备等）的价格或费用的总额，它由固定成本C1与可变成本C2组成，平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本.2收益函数总收益R是企业出售一定量产品所得到的全部收入.平均收益p是企业出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的价格，用p表示.p与q有关，因此，设总收益为R，则3利润函数设利润为L，则利润=收入—成本，即4需求函数“需求”指的是顾客购买同种商品在不同价格水平的商品的数量.一般来说，价格的上涨导致需求量的下降.设p表示的商品价格，q表示需求量.需求量是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论需求量与价格的关系，则是单调减少函数，称为需求函数若存在反函数，则也是单调减少函数，也称为需求函数.5供给函数“供给”指的是生产者将要提供的不同价格水平的商品的数量.一般说来，当价格上涨时，供给量增加.设p表示商品价格，q表示供给量，略去价格以外的其它因素，只讨论供给与价格的关系，则是单调增加函数，称为供给函数.第一章函数与极限2案例二1复利一笔P元的存款，以年复利方式计息，年利率为r，在t年后的将来，余额为B元，那么有2连续复利由此，我们可以得出：如果年利率为r的利息一年支付n次，以复利方式计息，那么当初始存款为P元时，t年后余额为在上式中，令n,得从而知如果初始存款为P元,利息水平是年率利为r的连续复利，则t年后，余额B可用以下公式计算：在现实世界中，有许多事情的变化都类似连续复利.例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周围介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等等.3现值与将来值一笔现值P元的存款，以年复利方式计息，年利率为r，在t年后的将来，余额为B元，那么有将来值若为连续复利，