中考数学复习精品讲解：第四单元25解直角三角形及其应用

·新课标第25讲│解直角三角形及其应用第25讲解直角三角形及其应用·新课标第25讲│考点随堂练│考点随堂练│考点1解直角三角形的基本关系边的关系勾股定理：a2＋b2＝c2.角的关系∠A＋∠B＝90°.正弦sinA＝______，sinB＝______.余弦cosA＝______，cosB＝______.边角关系正切tanA＝______，tanB＝______.面积S△ABC＝12ab＝12chc，hc为斜边上的高．易错点非直角三角形要构造直角三角形.baacbcbcacab·新课标第25讲│考点随堂练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA等于()A.32B.12C.3D.332．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，则下列关系式正确的是()A．c＝asinAB．c＝acosAC．c＝asinAD．c＝acosA[解析]根据三角形内角和定理，知∠A＝30°.[解析]因为sinA＝ac，所以c＝asinA.AC·新课标第25讲│考点随堂练3．[2010·新疆]如图25－1(1)是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图(2)，那么在Rt△ABC中，sinB的值是()(1)(2)图25－1A.12B.32C．1D.32[解析]根据题意，两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，可知∠B＝60°，则sinB＝32.B·新课标第25讲│考点随堂练4．在直角三角形ABC中，S△ABC＝96,∠C＝90°，sinA＝35，求△ABC的三边长．解：∵Rt△ABC的面积为96,则12AC·BC＝96.∵sinA＝35，∴可设BC＝3x，AB＝5x,则AC＝4x,∴12×3x·4x＝96，x＝4,即AC＝16，BC＝12，AB＝20.·新课标第25讲│考点随堂练5．在△ABC中，∠C＝90°，已知：c＝83，∠A＝60°，求∠B、a、b.解：∠B＝90°－60°＝30°，sinA＝ac，则sin60°＝a83，所以a＝sin60°×83＝12，根据勾股定理b＝c2－a2＝832－122＝43.·新课标第25讲│考点随堂练考点2解直角三角形的应用·新课标第25讲│考点随堂练6.[2010·漳州]如图25－2，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24m，则该树高为()图25－2A．83mB．123mC．122mD．12m[解析]设树高为xm，则斜边为2xm，由勾股定理可得x2＋242＝(2x)2，解得x＝83(m)．A·新课标第25讲│考点随堂练7．一段公路路面的坡度i＝13，这段公路路面长100米，那么这段公路升高()A．30米B．10米C．3010米D．1010米[解析]设公路升高x米，则水平距离为3x米，根据勾股定理，x2＋(3x)2＝1002，解得x＝1010(米)．D·新课标第25讲│考点随堂练8．[2010·青海]如图25－3，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为()A．1503米B．1803米C．2003米D．2203米图25－3[解析]由题意得∠A＝30°，∠B＝60°，AD＝CDtanA＝1503，BD＝CDtanB＝503，则AB＝AD＋BD＝1503＋503＝2003.C·新课标第25讲│考点随堂练9．如图25－4，直线y＝－3x＋3与坐标轴交于A、B两点，求AB的长和∠OAB的大小．图25－4解：直线与坐标轴的交点分别为A(1,0)，B(0,3)，则OA＝1，OB＝3，由勾股定理，AB＝OA2＋OB2＝12＋32＝2，tan∠OAB＝OBOA＝31＝3.所以∠OAB＝60°.·新课标第25讲│考点随堂练10．[2011·湛江]五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．(结果精确到0.1米)图25－5·新课标第25讲│考点随堂练解：过P作PD⊥AB，垂足为D，则AB＝AD＋BD，在Rt△ADP中，∠A＝60°，∠APD＝30°，且PA＝100米，所以AD＝50米．在Rt△BDP中，∠B＝∠DPB＝45°，所以DB＝DP，而DP＝1002－502＝503，所以AB＝50＋503≈136.6(米)．·新课标第25讲│考点随堂练11．[2011·鄂州]如图25－6，一艘舰艇在海面下500米A点处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度．(结果保留根号)图25－6·新课标第25讲│考点随堂练解：作CF⊥AB于F，则tan30°＝CFAF，tan60°＝CFBF，∴AF＝CFtan30°＝3CF，BF＝CFtan60°＝33CF，∵AF－BF＝AB＝4000，∴3CF－33CF＝4000，∴CF＝20003，∴海底黑匣子C点距离海面的深度为(500＋20003)米．·新课标第25讲│考点随堂练12．[2011·成都]如图25－7，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．(计算过程和结果均不取近似值)图25－7·新课标第25讲│考点随堂练解：由题意可知，在Rt△ABC中，AB＝500米，∠ACB＝90°－60°＝30°，∵tan∠ACB＝ABBC，∴BC＝ABtan∠ACB＝500tan30°＝5003(米)，∴该军舰行驶的路程为5003米．·新课标第25讲│考点随堂练第25讲│归类示例·新课标归类示例类型之一利用直角三角形解决和高度有关的问题命题角度：1．计算某些大型建筑物的高度2．将实际问题转化为直角三角形问题[2011·淮安]图25－2(1)为平地上一幢建筑物与铁塔图，图25－2(2)为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD＝30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度．·新课标第25讲│归类示例图25－2[解析]设过点A的水平线与CD交于点E，分别在两个直角三角形中利用三角函数求解．·新课标第25讲│归类示例解：设过点A的水平线与CD交于点E，由题意得∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝60°，∠DAE＝45°，AE＝BD＝30m，∴CD＝CE＋DE＝AE·tan60°＋AE·tan45°＝(303＋30)(m)．答：铁塔CD的高度为(303＋30)m.·新课标第25讲│归类示例在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺子直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺、测角仪、木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．·新课标第25讲│归类示例类型之二利用直角三角形解决平面图形有关的距离问题命题角度：1．计算不能用尺子直接量出的两地之间的距离2．将实际问题转化为直角三角形问题[2011·湛江]五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．(结果精确到0.1米)·新课标第25讲│归类示例图25－3·新课标第25讲│归类示例解：过P作PD⊥AB，垂足为D，则AB＝AD＋BD，所以∠A＝60°，∠APD＝30°，且PA＝100米，所以AD＝50米．又∵∠B＝∠DPB＝45°，所以DB＝DP，而DP＝1002－502＝503，所以AB＝50＋503≈136.6(米)．·新课标第25讲│归类示例类型之三利用直角三角形解决航海问题命题角度：1．利用直角三角形解决方位角问题2．将实际问题转化为直角三角形问题[2011·济宁]日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图25－4，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速·新课标第25讲│归类示例度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观测到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离.参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125图25－4·新课标第25讲│归类示例解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．在Rt△APC中，∵tanA＝PCAC，∴AC＝PCtan67.5°＝5x12.在Rt△PCB中，∵tanB＝PCBC，∴BC＝xtan36.9°＝4x3.∵AC＋BC＝AB＝21×5，∴5x12＋4x3＝21×5，解得x＝60.∵sinB＝PCPB，∴PB＝PCsinB＝60sin36.9°＝60×53＝100(海里)．∴海检船所在B处与城市P的距离约为100海里．·新课标第25讲│归类示例类型之四利用直角三角形解决坡度问题命题角度：1．利用直角三角形解决坡度和坡角问题2．将实际问题转化为直角三角形问题[2011·荆州]某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图25－5所示．已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1∶3.7，桥下水深OP＝5米，水面宽度CD＝24米．设半圆的圆心为O，直径AB在直角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．·新课标第25讲│归类示例参考数据：π≈3，3≈1.7，tan15°＝12＋3图25－5·新课标第25讲│归类示例解：连接OD、OE、OF，由垂径定理知：PD＝12CD＝12(米)．在Rt△OPD中，OD＝PD2＋OP2＝52＋122＝13(米)，∴OE＝OD＝13米，∵tan∠EMO＝i＝1∶3.7，tan15°＝12＋3≈1∶3.7，∴∠EMO＝15°.由切线性质知∠OEM＝90°，∴∠EOM＝75°，同理得∠NOF＝75°，·新课标第25讲│归类示例∴∠EOF＝180°－75°×2＝30°.在Rt△OEM中，tan15°＝OEEM，∴EM＝3.7×13＝48.1(米)，又EF＝30π×13180＝6.5(米)，∴48.1×2＋6.5＝102.7(米)，即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米．