机电控制工程第4章2010

第4章H∞控制4.1鲁棒控制概述鲁棒控制(RobustControl)的研究始于20世纪50年代。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定的(结构、大小)参数摄动下，在某种程度上保持系统的稳定性与动态性能的能力。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制由于工作状况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以成为国内外科研人员的研究课题。鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统(SISO)在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法。其设计目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息和它的变化范围。一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。一般鲁棒控制系统的设计是以一些最差的情况为基础，因此一般系统并不工作在最优状态。鲁棒控制方法适用于稳定性和可靠性作为首要目标的应用，同时过程的动态特性已知且不确定因素的变化范围可以预估。飞机和空间飞行器的控制是这类系统的例子。在研究鲁棒多变量控制的过程中，先后出现了参数空间法，状态空间法，H∞方法和μ方法等，其中以H∞方法在工程中应用最多。本章主要介绍H∞方法。为便于理解,首先需介绍范数等预备知识。4.2预备知识向量和矩阵的范数我们知道，对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值用来表示其大小，因而带来很多方便．例如，数列收敛的概念等也可以利用该绝对值定义．因为收敛是分析中的基本概念,所以可以说实变函数及复变函数分析也是从引入绝对值的概念后开始的。按符合以上四条规则，可以定义若干种形式不同的范数。（各列之和）（各行之和）(A=A*时,A称为埃尔米特阵)另一个常用的矩阵范数是所谓的Frobenius范数（不属于诱导范数），它定义为2*11()mnijFijATraceAAa设方阵U∈Fnxn，若满足U*U=I=UU*，称U为酉矩阵，若F=R（实数空间），则其为正交阵。在Euclidean空间C上可定义向量内积完备的内积空间称为Hilbert空间,它也是一个Banach空间.不收敛于[0，1]频域函数空间奇异值分解在矩阵分析中，一个非常有用的工具就是奇异值分解(SVD)。我们将看到，矩阵的奇异值能够很好地度量矩阵的“大小”，而且相应的奇异向量很好地指明了强／弱输入或输出方向。为了更好地理解状态空间法，再对一些基本概念做一些回顾。若矩阵H没有虚轴上的特征值，则称矩阵具有稳定性，互补性。这种矩阵H的集合，记为dom(Ric),称为Riccati域，如果Hdom(Ric),则非负定实对称矩阵P满足：矩阵P=PT是矩阵Riccati方程PA+ATPPBBTP+CTC=0的唯一解，记为P=Ric(H).对于Riccati方程，若（A,B,C)能稳定，能检测，则P=PT≥0,若还有（A,C)可观测，则P=PT0;24.3优化问题的提出是从鲁棒性设计开始的。在单变量控制系统中，系统的鲁棒性可以从系统的开环传递函数的幅频和相频特性中可靠地估计出来。对于多变量控制系统，由于系统中有众多不同的输入输出量，幅值与相位的意义变得模糊了，这样就引入状态空间法来处理多变量情况。因此在优化问题描述中除了介绍频率域描述外，还将介绍状态空间描述。4.3.1控制系统的优化问题的研究始于加拿大学者G.Zames的论文，它考虑了SISO线性反馈系统的灵敏度函数的无穷范数极小化问题。这一工作处理了古典控制理论中的一些基本问题，因此立即引起了人们的注意。尤其是当人们认识到这种方法在处理鲁棒性时比其它的优化方法更直接以后，该方法就很快被应用到更一般的问题中。图2-1SISO反馈系统灵敏度函数表征了控制系统输出对于扰的灵敏度。理想情况下S=0。Zames最初考虑的问题是寻找一补偿器C，使得闭环系统稳定且极小化灵敏度函数的峰值，这个峰值定义为对于单输入单输出系统，其传递函数的H∞范数相当于闭环幅频特性曲线的峰值。图4-1H∞控制系统图为了解决上述问题，Zames于1981年提出了以控制系统内某些信号间的传递函数(矩阵)的H∞范数为优化指标的设计思想，他考虑了图4-1这样一个单输入单输出系统的设计问题。设计一个反馈控制器，使闭环系统稳定，且外干扰对系统的影响最小。他假定外干扰信号属于某一信号集，而所谓“影响最小”是指在该信号集的最坏干扰情况下系统的输出能量最小。图4-1中v代表干扰。该方法能解决以下二类问题：(1)受控对象不是由一个确定的模型来描述的，而仅知道其模型属于某个给定的模型集合。(2)外部信号(包括干扰信号、传感器噪声和指令信号)不是具有已知特性(例如能量谱或统计特性)的信号，也仅知道其属于某个给定的信号集合。要解决这样的设计问题，就需要在能使闭环系统稳定的所有控制器中选出一个控制器，使与之相应的灵敏度函数(sensitivityfunction)的H∞范数达到最小；其中灵敏度函数是指从外干扰信号到系统输出的传递函数。由于H∞范数是一种极值，所以这个设计问题就归纳为“极大极小”问题。其实H∞范数就是以稳定的传递函数矩阵的线性空间，即H∞空间的某种范数作为系统的性能指标，设计目标是在可能发生的最坏干扰下使系统的误差在这种范数意义下最小。近几年来，这种设计方法已被推广于多输入多输出系统的设计，并发展到用以处理更为一般的控制问题。该设计方法有效性之一是体现在外部扰动不再假设为固定的，只要求其能量有界即可，不象经典LQG设计方法需假设为白噪声；有效性之二体现在受控对象不再假设为确定的，而经典的LQG设计方法必须假定数学模型在各个时刻反映真实对象。现在研究已表明鲁棒可稳问题也可以转化为H∞最优问题。另一方面Hilton从经典频域性能指标中亦导出H∞最优问题，从而进一步显示出了H∞最优设计方法的适用性。H∞控制理论研究可分为二个阶段，在l984年以前为第一阶段。在此阶段，人们把在使控制系统内部稳定的控制器集合中，寻求一个传递函数矩阵的H∞范数最小解的问题，通过稳定化控制器的youla参数化变换成模型匹配或一般距离问题，然后再将其变化为Nehari问题来求解。设计是基于传递函数矩阵的，虽然计算时也采用状态空间描述。第二阶段是1984年以后，在此阶段人们不采用输入输出传递函数矩阵的描述，而直接在状态空间描述上进行设计(虽然H∞优化设计指标本身是基于输入输出描述的)，从而把它归结为一个求解Riccati方程的过程。此类方法不仅设计过程简单，计算量小，而且所求得控制器阶次较低，结构特性明显。由于课时所限，本课主要介绍第二类方法,即4.3.2广义受控对象的描述4.434.5在本章中我们首先介绍了状态反馈H∞次优控制系统的设计方法。这里我们仅讨论定常状态反馈的情形，将在不同的假设条件下给出H∞次优状态反馈矩阵存在的充分必要条件和计算方法。4.5.1状态反馈H∞控制对于一般性的性能指标，可以利用矩阵变换化成上述形式。以上的定理都是针对系统G(s)同时满足假设A1,A2,A3的条件下.假设条件如果适当放宽,仍可能有解,只是求解更为复杂.定理24对于满足假设(A1)的系统G(s)，满足SF条件的状态反馈矩阵F存在的充要条件是：0)(djHd由题.在Matlab软件中有鲁棒控制工具箱和很多有用的命令.如are,care可用来方便地求得riccati方程的解.normhinf可用来求得用状态空间方法表示的系统的H∞范数.Hinfsyn可用来为分块的LTI对象计算一个H∞最优的控制器K.等等.