第四章线性系统的能控性和能观性

第四章线性系统的能控性和能观性第一讲系统的能控性及其判据授课人：方园1.概述线性系统的两个重要性质，即系统的能控性和能观测性。（1）能控性的物理现象例1.右图是一个小车摆杆系统，质量为的小车，在控制力的作用下可沿着光滑轨道做往返直线运动，在小车上倒立一根长为质量为的摆杆2，摆杆可相对于垂直位置做左右摆动。现在的问题是:利用控制力能否控制小车停留在人们所期望的位置，同时又使摆杆处于直立位置?1m2m0rulu取摆杆相对于垂直位置的偏离角和以及小车相对于期望位置的偏离值和作为状态变量，即要达到上述控制目的，控制力必须对所有的状态变量都发生影响。只有这样，才能把，，，等控制到0。这就涉及到了小车摆杆系统的能控性问题。0rrr{,,,}xcolrrrru（2）能控性问题的数学描述系统状态方程的标量方程组的形式：方程组可通过线性非奇异变换，使其状态变量间的耦合化为最简形式，即无耦合的对角线规范型或最少耦合的约当（Jordan）规范型。11111221111122122112222211222211221122,,.nnrrnnrrnnnnnnnnnrrxaxaxaxbububuxaxaxaxbububuxaxaxaxbububu例2.考察下述系统的能控性：解：化状态方程为最简形式。考虑到系统的特征行列式和特征根为：所以，11122245;10xxbuxxb120;0.bb24545(1)(5)0,111;25.故可取变换矩阵为：相应地，故系统状态方程的最简形式为：15;11P11566;1166P110;05PAP121121215156666.11116666bbbPBbbb1112221215[],66115[],66yybbuyybbu由最简形式易得：当，和没有直接或间接的关联，故为不能控的；当且仅当和时，和才是状态完全能控的。综上所述，能控性回答了控制向量能否使状态变量任意转移的问题。它是现代控制理论中所研究的基础性问题之一。注：在古典控制理论中不存在能控性问题。125bb1yu12bb125bb1y2y(3)系统的能控性及其判据状态能控性定义线性系统对初始时刻存在另一时刻，，为系统的时间定义域。且对时刻的任意初值，可以找到容许控制（即其元是在上平方可积），使则称上式所描述的系统是状态完全能控的，简称状态能控；否则，就称系统状态不能控（或不完全能控。）()(),()().xAtxBtuyCtxDtu0t1t0t1tJJ0t00()xtxu01[,]tt1()0xt对定义的若干说明1.如果系统状态不能控，则可以把全部系统状态变量分为能控和不能控两部分。2.在线性系统中，由于状态转移矩阵的可逆性，能控性与能达性是等价的。3.当且仅当整个状态空间中的所有有限点都是能控状态时、系统才是状态完全能控的。4.从物理上来看，控制作用是无约束的。5.如果定常系统在某一有限时间区间内是完全能控的，那么其以任一时刻为初始时刻的相应区间内必是完全能控的。u6.若在系统中引入不依赖于控制输入的扰动，可以证明，只要仍保证所给系统有唯一解，则不会影响系统的能控性。7.对线性系统做线性非奇异变换即坐标变换，不改变系统的能控性。即，代数等价的系统，具有相同的能控性。状态能控性基本定理设任意给定及，则根据常微分方程理论，在初态及的作用下，其状态变量的运动规律为：()ut()ft()ft00()xtx11()xtx0x()ut000()(,)(,)()().ttxtttxtBud当时，由和系统状态能控性定义及状态转移矩阵性质，于是上式为定理4.1线性系统在定义区间满足解的存在唯一性条件，则其在上状态完全能控的充分必要条件是克兰姆（Gram）矩阵：1tt0t101001()(,)(,)()(),ttxtttxtBud1()0xt1000(,)()().ttxtBud01[,]tt01[,]tt为非奇异的。证明：充分性.已知非奇异，则存在。这样，对任意的可以构成容许控制使得经有限时间后，系统状态100100(,)(,)()()(,).tTTctWttttBtBtttdt01(,)cWtt101(,)cWtt0x10010()()(,)(,),TTcutBtttWttx01[,]tt故，状态完全能控性得证。必要性.必要性.已知系统状态完全能控，欲证必非奇异。现反设是奇异的，则必存在某个非零的，使得于是可以导出：01(,)cWtt01(,)cWtt0x001(,)0;TcxWtt1000100000(,)(,)()()(,)tTTTTctxWttxxttBtBtttxdt10100000200[()(,)][()(,)]()(,)0.tTTTTTttTTtBtttxBtttxdtBtttxdt因为是对连续的，所以上式成立必然导致然而已知系统是状态完全能控的，因此上述必为能控状态，即有0()(,)TBttt00()(,)0,TTBtttx01[,].ttt1000(,)()();ttxttBtutdt10200000[(,)()()]tTTtxxxttBtutdtx1000()()(,)0.tTTTtutBtttxdtt0x上式表明若为能控状态，必只有。但这和假设为非零列向量相矛盾。因此在系统为完全能控的条件下，反设为奇异是不成立的，从而为非奇异的。[证毕]。01(,)cWtt0x00x0x01(,)cWtt