2018年12月5日高中数学周测单元测试-9ab8f76a064f4245957a54bc129f2

第1页共8页◎第2页共8页2018年12月5日高中数学周测/单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．已知正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1=2𝐴𝐵，E为𝐴𝐴1中点，则异面直线BE与𝐶𝐷1所成角的余弦值为()A．√1010B．15C．3√1010D．352．若将函数𝑦=tan(𝜔𝑥+𝜋4)(𝜔0)的图像向右平移𝜋6个单位长度后，与函数𝑦=tan(𝜔𝑥+𝜋6)的图像重合，则𝜔的最小值为A．16B．14C．13D．123．已知集合M＝﹛x|－3＜x≤5﹜，N＝﹛x|x＜－5或x＞5﹜，则M∪N＝A．﹛x|x＜－5或x＞－3﹜B．﹛x|－5＜x＜5﹜C．﹛x|－3＜x＜5﹜D．﹛x|x＜－3或x＞5﹜评卷人得分二、解答题4．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下.（1）已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟。现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；（2）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（3）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？5．下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码1~7分别对应年份2010~2016（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：∑𝑦𝑖7𝑖=1=10.97，∑𝑡𝑖𝑦𝑖7𝑖=1=47.36，√∑(𝑦𝑖−𝑦̅)27𝑖=1=0.664，√7≈2.646.参考公式：相关系数𝑟=∑(𝑡𝑖−𝑡̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1√∑(𝑡𝑖−𝑡̅)2∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1𝑛𝑖=1=∑𝑡𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1−𝑡̅∑𝑦𝑖𝑛𝑖=1√∑(𝑡𝑖−𝑡̅)2∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1𝑛𝑖=1，回归方程𝑦̂=𝑎̂+𝑏̂𝑡中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：𝑏̂=∑(𝑡𝑖−𝑡̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1∑(𝑡𝑖−𝑡̅)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦̂−𝑏̂𝑡̅.6．随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中第3页共8页◎第4页共8页生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间𝑡，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：学习时间（分钟/天）𝑡≤2020𝑡≤50𝑡50喜好等级一般爱好痴迷（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数𝑚1（精确到0.01）；（Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值𝑋1与𝑋2及方差𝑆12与𝑆22的大小关系（只需写出结论），并计算其中的𝑋1、𝑆22（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）记事件𝐴：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求𝐴的概率.7．经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄x2832384248525862收缩压y（单位mmHg）114118122127129135140147其中：𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛⋅𝑥̅⋅𝑦̅𝑛𝑖=1∑𝑥𝑖2−𝑛⋅𝑥̅2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅，∑𝑥𝑖2=172328𝑖=1，∑𝑥𝑖𝑦𝑖=473848𝑖=1（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂；（𝑎̂，𝑏̂的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9∼1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06∼1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12∼1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180𝑚𝑚𝐻𝑔的70岁的老人，属于哪类人群？8．（本小题满分12分）已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的离心率为√33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1是，坐标原点O到直线l的距离为√22.（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.9．（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B．10．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．第5页共8页◎第6页共8页（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii）已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．11．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为𝑥，若每次抽取的结果是相互独立的，求𝑥的分布列，期望和方差．附表：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)12．2018年7月24日，长春长生生物科技有限责任公司先被查出狂犬病疫苗生产记录造假，后又被测出百白破疫苗“效价测定”项不符合规定,由此引发的疫苗事件牵动了无数中国人的心．疫苗直接用于健康人群，尤其是新生儿和青少年,与人民的健康联系紧密．因此，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20xA注射疫苗30yB总计5050100现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为25．（1）求2×2列联表中的数据𝑥,𝑦,𝐴,𝐵的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取三只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为𝜉，求𝜉的分布列和数学期望．附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑐)(𝑐+𝑑)(𝑏+𝑑)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828评卷人得分三、填空题13．设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45∘角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于7𝜋4,则球O的表面积等于.第7页共8页◎第8页共8页14．(𝑥√𝑦−𝑦√𝑥)4的展开式中𝑥3𝑦3的系数为.15．在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总10页参考答案1．C【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于900,故选C.2．D【解析】函数𝑦=tan(𝜔𝑥+𝜋4)(𝜔0)的图像向右平移𝜋6个单位得𝑦=tan[𝜔(𝑥−𝜋6)+𝜋4]=tan(𝜔𝑥−𝜔𝜋6+𝜋4)，所以−𝜔𝜋6+𝜋4=𝑘𝜋+𝜋6,𝑘∈𝑍𝜔=−6𝑘+12,𝑘∈𝑍，所以𝜔得最小值为12。3．A【解析】直接利用并集性质求解，或者画出数轴求解。4．（1）12；（2）40；（3）选𝐵款订餐软件.【解析】【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用𝐴款订餐、使用𝐵款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】（1）使用𝐴款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有100×0.006×10=6个，分别记为甲，𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{甲，𝑎,𝑏},{甲，𝑎,𝑐},{甲，𝑎,𝑑},{甲，𝑎,𝑒},{甲，𝑏,𝑐},{甲，𝑏,𝑑},{甲，𝑏,𝑒},{甲，𝑐,𝑑}{甲，𝑐,𝑒},{甲，𝑑,𝑒},{𝑎,𝑏,𝑐},{𝑎,𝑏,𝑑},{𝑎,𝑏,𝑒},{𝑎,𝑐,𝑑},{𝑎,𝑐,𝑒},{𝑎,𝑑,𝑒},{𝑏,𝑐,𝑑},{𝑏,𝑐,𝑒},{𝑏,𝑑,𝑒},{𝑐,𝑑,𝑒}.甲商家被抽到的情况如下：共10种。{甲，𝑎,𝑏},{甲，𝑎,𝑐},{甲，𝑎,𝑑},{甲，𝑎,𝑒},{甲，𝑏,𝑐},{甲，𝑏,𝑑},{甲，𝑏,𝑒},{甲，𝑐,𝑑},本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总10页{甲，𝑐,𝑒},{甲，𝑑,𝑒}记事件𝐴为甲商家被抽到，则𝑃(𝐴)=1020=12.（2）依题意可得，使用𝐴款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为15×0.06+25×0.34+350.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40.（3）使用𝐵款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=3540所以选𝐵款订餐软件。【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题。5．（1）𝑟≈0.99，说明𝑦与𝑡的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合𝑦与𝑡的关系；（2）回归方程为𝑦̂=1.07+0.12𝑡，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.15亿吨.【解析】【分析】（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得，利用公式，求得𝑟的hi，即可得到结论；（Ⅱ）由𝑦=10.977≈1.567及（Ⅰ）得𝑏̂≈0.124，𝑎̂≈1.07，即